武汉大学离散数学第3章 集合ppt课件.ppt

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1、第2篇集合论不精确的自然语言精确的集合语言集合论是表达数学的基础语言，又是自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分。G.Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。计算机的许多概念也都是以集合为基础的，如：数据类型、数据库，集合是形式化的基础集合论本部分主要介绍朴素集合论的主要内容，其中包括集合（第三章）、二元关系（第四章）、函数（第五章）、无限集合（集合的基数）（第六章）等第3章集合3.1集合的基本概念集合是数学最原始的概念，不能精确定义。直观上说，把满足某个具体谓词P（x）的对象全体称为集合集合可以

2、描述为：一个集合把世间万物分成两类,一些对象属于该集合，是组成这个集合的成员，另一些对象不属于该集合。可以说，由于一个集合的存在，任一对象或属于该集合或不属于该集合，二者必居其一也只居其一。集合的概念:集合是由某些可以相互区分的事物汇集在一起所组成的整体。集合作为论述的事物的整体，在某些场合有时又称为类或族。组成集合的每个事物称为此集合的元素，记aA。举例:某班全体同学可组成一个集合；小于１０的自然数可以组成一个集合；方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；……集合通常用大写的英文字母A,B,C,…,来标记，元

3、素通常用小写字母a,b,c,…,来表示。例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。3.1.1集合的表示法(1)列举法列出集合的所有元素，元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来。在能清楚地表示集合成员的情况下可使用省略号。例：偶数集合A={0，2，-2，4，-4，……}A={a，b，c，…，z}Z={0，±1，±2，…}都是合法的表示。举例：用列举法表示下列集合1）小于10的非负整数的集合；{0，1，2，…，9}2）由a，b组成的长度为2的符号串集合{aa，ab，ba，bb}3）10到3

4、0之间的质数的集合{11，13，17，19，23，29}(2)描述法：就是用谓词描述出集合元素的公共特征来表示集合。例1：A={a,b}　　　A={xx=a∨x=b}例2：A为偶数集合　A={xy(yI∧x=2y)}I表示整数集例3：永真式集合　　A={ppwff∧pT}例4：B＝{x

5、x∈R∧x2－1＝0}表示方程x2－1＝0的实数解集一般地，S={aP(a)}表示aS当且仅当P（a）是真。许多集合可以用两种方法来表示如B＝{x

6、x∈R∧x2－1＝0}也可以用列举法写成{-1，1}。但是有些集合不可以用列元素法表示，如实数集合。

7、这些集合可采用归纳定义。(3)归纳定义一个集合的归纳定义有三部分组成：１)基础条款指出某些事物属于集合。（给集合以基本元素，使之非空）2)归纳条款指出由集合的元素构造新元素的方法。（通常形为：如果事物x,y…z是集合的元素，那么用某种方法组合它们所形成的新事物也在集合中。）（指出为了构造集合的新元素，能够在事物上进行的运算）3)极小性条款指出一个事物除非能有限次应用基础和归纳条款构成，否则不是集合的成员。注意(1)集合的元素可以是集合。例：A={a,b,c,D}而D={a,b,c}(2)仅含一个元素的集合称为单元素集合。应把单元素集合与单元素区别开

8、来。例：{A}与A不同。{A}表示仅以A为元素的集合。{{1，0}}与{1，0}不同。{{1，0}}表示仅以{1，0}为元素的集合{1，0}是{{1，0}}的元素。(3)称元素可以出现多次的集合为多重集,称某元素出现的次数为该元素的重复数。{a,b,a,c,a,b}3.1.2　集合的基数或势集合的元素个数称为该集合的基数或势，记为A。1.若

9、A

10、=0,则称A是空集；2.若

11、A

12、为自然数，则称A是有限集；3.若

13、A

14、是无穷大，则称A是无限集。例：A={a,b},则A=2,{A}=1;A={a,a,b},A=2。3.1.3集合相等集合A

15、，B相等（A=B），当且仅当x(xAxB)∧x(xBxA)为真即仅当它们有相同的成员注意：（1）列举法中元素的次序无关紧要，即{x,y,z}与{z,x,y}相等。（2）在非多重集中，元素的重复出现无关紧要，即　　　　　　　{x,y,x},{y,x},{x,x,x,x,y}相等。（3）集合的表示方法不唯一，即{xx2=1},{-1,1}相等。子集与真子集定义1：设A和B是集合，若x(xAxB),那么A是B的子集，记为AB.定义2：若AB，且AB，称A是B的真子集，记AB。读作‘B真包含A’或‘A被真包含在B中’‘B包

16、含A’或’A包含于B’‘A是B的子集’、“B是A的扩集”。“若AB，且AB”即ABx(xAxB)∧x(x