函数的应用——函数的零点.doc

《函数的应用——函数的零点.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《函数的零点》教学设计【教学目标】1、学生能够结合具体二次方程，说出方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点横坐标三者的关系；2、学生能利用函数图象和性质判断二次函数的零点个数，并会求二次函数的零点；3、通过对具体例题的讨论，学生能总结出函数零点存在性定理，能说出图象连续不断的意义及作用；能举例说明定理的逆命题不成立；4、学生能运用零点存在性定理证明函数在某区间上存在零点；5、学生初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．【课堂实录】一、创设情境，引入新课1.你会解方程吗？方法是什么？学生众：会。可以用因式分解，配方

2、，求根公式……2.你会解方程吗？你能确定上述方程的解的个数吗？学生众：（第一个问号）不会。学生1：可以作函数和的图象，两个函数交点的横坐标就是方程的根，由图可知，两个函数有且只有一个交点，所以方程的解有一个。教师：这位同学说的非常完美。我们在现实问题的解决中经常会遇到无法用公式法等求解的方程，这位同学将方程的问题转化为函数来解决，这正是本章要研究的一个重要思想与方法——函数与方程。为了理清两者的关系，我们从简单的一元二次方程和一元二次函数的关系出发进行研究。二、问题引动，明晰概念问题1：方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3有

3、怎样的联系呢？学生2：方程x2-2x-3=0的根就是函数y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标，也就是函数y=x2-2x-3中令y=0时的x的解。教师：很好。我们把函数y=x2-2x-3中使y=0时的x的解称为函数y=x2-2x-3的零点。“零点”是一个新的概念，但它的本质我们并不陌生。（在黑板上板书一元二次函数零点的定义，及零点、交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系）例1求证：二次函数y=x2-2x-1有两个不同的零点。学生3：（略）问题2：你能将这个特殊的二次函数推广到一般的二次函数来研究它的零点吗？学生4：用对应方程的Δ的

4、正负判断零点的个数。Δ>0，函数有两个零点；Δ=0，函数有一个零点；Δ<0，函数无零点。学生一起归纳：二次函数零点的判定（填写右表）问题3：你能将零点的概念推广到一般函数吗？学生归纳定义：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点。教师：数形结合是一对不可分割的孪生兄弟，我们在解决数学问题时，经常“以形助数，以数解形”，可见“函数零点方程根，数形本是同根生”。练习1：函数y=f(x)的图象如图一所示，说出函数f(x)的零点。学生5：函数的零点是-4，-1，2.。教师：有不同意见吗？学生6：我认为是（-4

5、,0），（-1,0），（2,0）。教师：这两个答案差异可大了，一个是数，一个是点，那么零点到底应该是数还是点呢？为什么？学生7：应该是数，因为函数的零点也就是函数与x轴的交点的横坐标，横坐标是数。教师：解释地非常到位，可见“零点”非“点”。练习2：三次函数（a≠0）至多三个零点，若已知部分对应值如下表，试判断零点个数，并确定大致区间。x-2-10123g(x)-12.9-1.80.32-0.541.612.7学生8：画出函数的示意图，由图可知零点有三个，在区间（-1,0），（0,1），（1,2）上。教师：你能上黑板来画一下示意图吗？（

6、学生8很高兴地上台展示，画图如图二所示）教师：同学们，你们都是这样画的吗？（学生点头不语）我想将他的图象修改一下，将函数在区间（-1,0）上断开，那么函数在这个区间上就没有零点了，这样行吗，为什么？学生众：不行，这个函数在R上是连续的。教师：很好，可见，这个函数在（-1,0）上要穿过x轴那就必须要是连续不间断的。三、探究归纳，学以致用例2判断函数y=x2-2x-1在区间（2,3）上是否存在零点。学生9：（法一）考察方程x2-2x-1=0的根，……教师：这位同学将函数零点转化为方程的根来研究，非常好。但是我们知道还有一些方程是无法求根的

7、，那么我们就要探寻其他方法来解决。还有不同方法吗？学生10：直接考察函数在区间上的两个端点值，因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，且函数在（2,3）上单调递增，所以……学生11：不对，还要加条件“函数y=x2-2x-1在区间（2,3）上连续不间断”。教师：把两位同学的解答合起来就非常漂亮了（称为法二）。我们还可以把条件再加强一些，“函数y=x2-2x-1在闭区间[2,3]上连续不间断”。教师：你能将上述法二总结为一般规律吗，即函数满足什么条件，就可以得到函数y=f(x)在区间（a,b）上有零点？学生12：一般地，若函数y＝f(x

8、)在区间[a，b]上单调，图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点。教师：好的，我们来细细品味一下这个命题中的条件是否精确，有没有多余的？学生13：“函数在[a，b]上