一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗.doc

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1、一组对边相等一组对角相等的四边形是平行四边形吗湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中　李敬峰　谷兴武在学习《平行四边形的判定》时，学生遇到这样一道判断题：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。学生判断这个命题时，通过证明方法证不出来，画图总是受平行四边形思维的制约，请教老师，但是有的年青教师也不能画出准确的反例图形，所以笔者就这个问题，进行了深入的研究。现归纳几种方法如下： 一、拼图法 笔者研究这个问题时也是从证明开始入手的。 如图1，四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，求：四边形ABCD是不是平行

2、四边形？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析:经验告诉我们，遇到四边形问题往往要转化成三角形问题来解决。所以很自然想到连接AC，分四边形ABCD为两个三角形，如果能够证明△ABC≌△CDA，便可证明四边形ABCD是平行四边形。可是能够为△ABC和△CDA找到的三个条件：AB=CD，∠B=∠D，AC公用，满足的却是“两边及其中一边的对角对应相等”的关系（注:为了简洁，笔者下文将两个三角形符合这样的条件简称“SSA”），不能证明△ABC≌△CDA，所以无法证明四边形ABCD是平行四边形。但是我们知道判断两个

3、直角三角形全等的方法“HL”满足的是“SSA”条件，所以当∠B=∠D=时，△ABC≌△CDA，易证四边形ABCD是平行四边形（另外∠B=∠D＞时也可证△ABC≌△CDA，这个留给读者验证）。可见，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形。 在上述证明过程中，笔者联想到人教版八年级(上)数学课本中证明“符合‘SSA’的两个三角形不一定全等”的基本图形(如图2)，图2中△ABC与△ABD满足“SSA”的条件。笔者考虑到：在向学生讲述文章开头一段的问题时，直接证明有难度，何不把图2中的△ABC与△ABD

4、剪下来，拼接出一个反例图形。方法如下：可以采用把一张白纸对折成双层，在上层纸的上面画出如图2的基本图形，并且标上相应的字母，注意画图时尽可能把锐角∠B画大点(∠B＞∠CAD，这样后面更容易拼接成一个凸四边形)，然后用剪刀沿△ABD的三边的轮廓剪下，得到两个全等的三角形，把下层的三角形每个角写上与上层的△ABD相对应的字母(与A点对应)、(与B点对应)、D，得到；再把上层的三角形沿线段AC剪开，得到△ABC；最后让学生把各自作得与△ABC放在一张深色的纸板上拼接成一个符合要求的反例四边形，并且用透明胶带把这个四

5、边形固定在深色纸板上，便于与同学之间互相交流或上讲台展示，教师还可以选部分同学的作品用小磁铁固定在磁性黑板上展示。通过动手活动，学生积极性高，教学效果明显。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、间接作图法 思路：借助于某种具有两个等角和两条等边的图形，使其发生某种变换，构照出“仅有一对对角相等及一对对边相等的四边形”，从而作出反例图形。学生很容易想到等腰三角形、平行四边形等图形能够提供一对等角和一对等边。请看下面笔者总结的较为经典的几种方法： （一）利用等腰三角形构造（如图3） 　　　　　　　　　

6、　　　　　　　　　　　　 作法：①如图3，任意作一等腰△ABC，AB=AC（要求底角∠B、∠C尽可能画大一些，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形） ②在底边BC上任取一点D，使得BD≠DC（不要取BC的中点，原因留给读者思考） ③由点D作∠2=∠1（如图3），取DE=AC，连接AE。 ∵易证△ADC≌△DAE ∴∠E=∠C=∠B，AE=DC  又∵DE=AC=AB，AE=DC≠BD ∴四边形ABDE即为所求的反例图形。显然，四边形ABDE不是平行四边形 另外，也可以沿着AD把等腰△ABC剪开，再把剪下的

7、两个△ABD和△ADC拼成一个符合要求的反例四边形。请读者自己动手试试呀（图略）. 再则，作△DAE的方法也多种多样，可作AD的垂直平分线，再作C点关于AD的垂直平分线的对称点E（图略）；或者取AD的垂直平分线交AC于F（图略）,连结DF并延长到E,使EF=CF,则AC=DE；或者分别以A、D为圆心，线段CD、AC为半径画弧（图略），两弧交于点E，连接AE、DE。不管哪种方法，其目的都是想得到与△ADC具有公共边AD的全等△DAE（如图3）。 （二）利用平行四边形构照 首先声明，由于方法多种多样，笔者下面即将

8、介绍的方法（只包括图4、图5、图6），笔者意向让∠B作为反例图形中一对相等的对角之一，让AB边作为一对相等的对边之一。 1.旋转三角形法  作法：①如图4、图5,作ABCD，并且连接AC。【注意：当△ABC为锐角三角形时，让∠ACB为唯一的最大锐角，尽可能把∠ACB画得接近，这样后面更容易得到一个凸四边形的反例图形（如图4）；当△ABC为钝角三角形时，∠ACB为钝角且不要画的度数太大，尽可能地接近，