2011.1.14《线性代数与解析几何》期末试题答案.doc

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1、2010级《线性代数与解析几何A》期末试题（A卷）参考答案及评分标准(2011年1月14日)一、填空题（每小题3分，共15分）1.;2.;3.;4.;5..二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.D2.D3.A4.B5.C三、计算题I（每小题8分，共32分）1.解答：………2分………6分2.解答：由得，………2分又，知可逆，由，得，………4分。………2分3.解答：对矩阵进行初等变换可得………4分（1）由可得的1,2,3列线性无关，因此的1,2,3列线性无关。于是向量组的一个极大无关组为.………2分（2）由于矩阵的第4列式第二列的二倍。因此向量组中.………

2、2分4.解答：方程组的同解方程组为，即，，从而原方程组的一个非零解为.………4分又已知可知与所求的平面垂直,故所求平面方程为，即.………4分四、计算题II（8+12=20分）1.解答：由………2分得………4分（1），时，，所以不能由惟一线性表示.………1分（2），，所以能由惟一线性表示.….1分2.解答：（1）二次型的矩阵为；………2分（2）的特征多项式为，于是有的特征值为，，；………3分对于特征值，可得对应的特征向量；对于特征值，可得对应的特征向量；对于特征值，可得对应的特征向量；将单位化，可得，，。………3分则正交阵。………2分（3）标准型。………2分

3、五、计算题III（共8分）解答：（1）由得.………6分（2）由有特征值，对应的特征向量分别为，则有特征值，对应的特征向量仍分别为，从而，同理可得因此………2分六、证明题（共10分）1.若有………2分等号两边同时与做内积得由与均正交得再由向量非零，知，代入（1）中，由线性无关得因此，仍线性无关。………3分2．证明：设的特征值为，………3分则的特征值为由=0，则因此的个特征值为均为或2，从而的个特征值均为2或7，显然对称，再由的个特征值均为正数，得为正定阵。………2分