几何变换之旋转.doc

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1、【例1】如图，在中，，垂足为．分别是上的点，且．如果，那么__________．【答案】【例2】、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．【答案】在和中∴∴∵∴∴【例3】、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．【例4】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长．【答案】∵，∴．∵，∴．在三角形与中，，，，∴．∴．∵矩形周长为，∴．∵，∴且．∴．即【例1】如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是______．【答案】【例2】两个全等的、的三角板、，如右下图所示摆放，、、在一条直线上，连

2、结．取的中点，连结、，试判断的形状，并说明理由．【解析】判断是等腰直角三角形．理由：如图，连结．∵，，∴∵，∴又∵是的中点，∴∴∴∴∴∵，∴∴，而，∴即，∴是等腰直角三角形．【例1】已知等腰直角三角形，为直角，为的中点．．求证：．求证：．【例2】如图所示，已知在等腰直角三角形中，是直角，是上一点，，的延长线交于，若，求证：是的中点．【答案】过作垂直于交延长线于点；易证，；进而证明，得到，则为中点．【例3】如图所示，在等边中，，为的中心，为的中点，求证．【答案】如图所示，延长至点，使，连接、、、、．因为，，，故≌，则，．因为，则，．因为为的中心，则，．

3、因为，故≌，从而．因为，故．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法．如图所示，取的中点，连接、、、．因为为的中心，故，．因为，，故．因为，，故，因为，故∽，，则、、、四点共圆．因为，故．【例1】已知为等腰直角的斜边上任意一点，、分别为、之垂线，垂足为、．为之中点．则、、组成等腰直角三角形．【答案】解法一：如图，连接，则为之中线，亦为之高．∴．∵，∴为矩形，故．又∵，∴为等腰直角三角形，∴．∴．又∵，，∴，∴，．∵，∴，即．∴为等腰直角三角形．解法二：如图，由作，，则显然由于为之中点，，，∴为正方形，故．又设交于，则∵，，∴．而．∴

4、为矩形，故．同理．又∵，∴．∴为等腰直角三角形，∴，故．又，．∴，∴，．又，∴．即，故为等腰直角三角形．解法三：如图，延长到，使，连接．∵，∴、、、点组成平行四边形．∴，．又∵，∴，∴．又∵，，∴．同理．∵为矩形，∴，，故．而，∴，．∴．∴，，．∵，∴．故．∴为等腰直角三角形．而为底边之中点，所以亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接，则因为为之中点，所以，平分，即．由向引垂线，向引垂线，显然为矩形．则．又∵为等腰直角三角形，．又∵，，，∴为矩形，故．于是在和中，，，，∴，∴，故．又∵，∵，即．同理，为等腰直角三角形．解法五：如图，连接、．∵，为等腰

5、直角三角形，∴．∴、、、点共圆．∴．又∵，∴，∴、、、点共圆．∴，，∴是等腰直角三角形．【例1】长方形中，，，的角平分线交于点，交于，则_________．【解析】由，平分可知．由基本图可知，故又，，故．由勾股定理可知，．从而可知．【答案】5【例2】如图，设和都是正三角形，且，则的度数是(　　)A．B．C．D．【答案】分析既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．解易知，，于是,从而,在考虑到,有：从而，选B。【例1】已知：是的高，点在的延长线上，，点在上，，求证：⑴；⑵．【答案】如图，设交于．⑴由，，知．而，故．由已知，有，，从而，即有

6、．⑵由⑴可得，而．．从而可得，即．【例2】如图，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．⑴在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；⑵将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为⑵中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）；．（2）；．①由已知，得，∴．又∵，∴．∴．在和中，，∴，∴．②如图，延长交于点．∵，∴．在中，，又，∴．

7、∴．∴．（3）成立．①∵，∴．又∵，∴．∴．在和中，，∴．∴．②如图，延长交于点，则．∵，∴．在中，，∴．∴．∴．【例1】中，为中点，交的平分线于点，于于．求证：．垂直平分，∴，平分，，，∴，又，∴≌()，∴，【例1】如图，在正方形中，是的中点，，为的延长线上一点．求证：．【答案】取的中点，连接，证明，于是.【例2】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？【答案】猜测.在上截取，∴，∴∴，∴，∴，∴．【例3】如图，点为正方形的边(或)延长线上任意一点，且与外角的平分线交于点，此时与有何数量关系?并加以证明．【答案】

8、猜测，延长至点，使，连结．∵，∴，∴，而，∴，∴【例1】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)