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《实验3线性方程组的数值解迭代法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、实验3线性方程组数值解-迭代法一、实验目的：掌握Jaccobi迭代法、Guass-Sidel迭代法、松弛法求解线性方程组的数值解。二、实验内容：1.1题目分别用雅格比法与高斯－赛德尔迭代法解下列方程组Ax=b，研究其收敛性，上机验证理论分析是否正确，比较它们的收敛速度，观察右端项对迭代收敛有无影响。(1)A行分别为A1=[6,2,-1],A2=[1,4,-2],A3=[-3,1,4]；b1=[-3,2,4]T,b2=[100,-200,345]T,(2)A行分别为A1=[1,0.8,0.8],A2[0.8,1,0.8],A3=[0.8,0.8,1]；b1=[3,2,1]T,b2=[5,0
2、,-10]T,(3)A行分别为A1=[1,3],A2=[-7,1]；b=[4,6]T,1.2原理和思路1.2.1基本原理（1）Jacobi迭代法设有n阶方程组Ax=b，若系数矩阵非奇异，且(i=1,2,…,n)，将方程组改写成同解方程组：然后写成迭代格式：上式也可以简单地写为：对以上两式给定一组任意初值后，经反复迭代可得到一向量序列，如果x(k)收敛于，则就是方程组Ax=b的解，该方法称为雅克比(Jacobi)迭代法。设D=diag(a11,a22,…,ann)，将Ax=b改写为：AX=(D–(D-A))x=b，DX=(D-A)x+b，X=(I–D-1A)x+D-1b。记B=I–D-1A
3、，g=D-1b。则迭代格式的向量表示为BJ=I–D-1A称为雅克比迭代矩阵。Jacobi迭代收敛的充要条件：迭代矩阵BJ的谱半径。特别地，若系数矩阵A满足以下特征中的任意一条，则Jacobi迭代法收敛：①A为行对角占优阵，即；②A为列对角占优阵，即；③A的元素满足。（2）Gauss-Seidel迭代法在雅可比迭代中，每次迭代时只用到前一次的迭代值，而在高斯-塞德尔迭代中，每次迭代时充分利用最新的迭代值。一旦一个分量的新值被求出，就立即用于后续分量的迭代计算，而不必等到所有分量的新值被求出以后。如果迭代收敛，应该比更接近于原方程的解(i=1,2,…,n)，因此在迭代过程中及时地以代替（i=
4、1,2,…,n-1），可得到更快的收敛效果。这样可将迭代格式写成：上式可简写为：(i=1,2,…,n)该式称为Gauss-Seidel迭代格式。对于上述Gauss-Seidel迭代式，如写成矩阵形式为：=D-1+D-1b,=。其中，L和U分别为：则Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为。其收敛的充要条件为谱半径。特别地，若系数矩阵A满足Jacobi迭代法三条特征中的任意一条，则Gauss-Seidel迭代法收敛。1.2.2实验思路（1）Jacobi迭代法的算法为:Jacobi迭代法的流程图为:在以上的流程图中，先读入数据，即先输入系数矩阵A,常数向量b,初始值，停止条件和最大循环次数
5、。图中是迭代公式中的，k是循环次数，N是最大循环次数。（2）Gauss-Saidel迭代法的算法为：Gauss-Seidel迭代法的流程图为:以上的流程图中，先读入数据，即先输入系数矩阵A,常数向量b,初始值，停止条件和最大循环次数N。流程图中的是高斯-塞德尔迭代公式中的，是高斯-塞德尔迭代公式中的，k是迭代次数，N是最大循环次数。1.3计算结果与分析（1）当,时，通过两种迭代法得到的结果如下图所示：当,时，通过两种迭代法得到的结果如下图所示：【实验现象】通过上述两组实验对比得到的结果显示：Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都是收敛的。【原因分析】由矩阵A可知，A为列对角占优
6、阵，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收敛的。从上述两组实验对比可以得出，Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法的收敛速度更快，而且右端项b对迭代收敛没有影响。（2）当，时，通过两种迭代法得到结果如下图所示：当，时，通过两种迭代法得到结果如下所示：【实验现象】通过上述两组实验对比得到的结果显示：Jacobi迭代都是发散的，而Gauss-Seidel迭代都是收敛的。【原因分析】Jacobi迭代矩阵，经过计算，故Jacobi迭代是发散的。Gauss-Seidel迭代矩阵，计算，故Gauss-Seidel迭代是收敛的。（3）当，时，通过两种迭代法得到计算结果
7、如下图所示：【实验现象】通过上述实验结果显示：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是发散的。【原因分析】Jacobi迭代矩阵，经计算，故Jacobi迭代法是发散的。Gauss-Seidel迭代矩阵，经计算，故Gauss-Seidel迭代是发散的。【实验结论】1、判断Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛，可计算它们的迭代矩阵B的谱半径是否小于1。，则收敛；，则发散；2、从实验结果可以看出，Gauss-
