三角恒等变换知识总结讲解学习.doc

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1、三角恒等变换知识点总结2014/10/24一、基本内容串讲1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：;;对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：...要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，这两个形式常用。3.辅助角公式：;.4.简单的三角恒等变换（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达

2、到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。5.常用知识点：（1）基本恒等式：（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；（2）三角形中的角：，；（3）向量的数量积：，，；二、考点阐述考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、的值等于（）2、若，，则等于（）3、若则的值是________．4、_______________.考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、co

3、scos的值等于（）(提示:构造分子分母)6、（）7、已知，且，那么等于（）考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换8、已知则的值等于（）9、已知则值等于（）10、函数是（）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数4、常见题型及解题技巧（另外总结）（一）关于辅助角公式：.其中（可以通过来判断最大最小值）如：1.若方程有实数解，则c的取值范围是____________.2.的最大值与最小值之和为_____________.7．若则________.（二）三角函数式的

4、化简与求值[例1]1.；2.;3.求值;4.△ABC不是直角三角形，求证：（三）三角函数给值求值问题1.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是_____________;2.已知3.，求的值．（四）三角函数给值求角问题1.若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.2.已知，且是方程的两个根，求．3.已知均为锐角，且，，，则的值（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知,,并且均为锐角，求的值.（五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等）1.(2010·北京)已知函数.(1)求

5、的值；(2)求的最大值和最小值．2.已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值；（3）求函数在的单调区间。三、解题方法分析1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设则有（）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=，cos=，，，，，，，tanα＋tanβ=

6、tan(α+β)(1-tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为即asinx+bcosx=（其中）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变

7、换问题。例2．已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．（－（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））例2解答：例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+tan10°）］·．【解析】：原式==．【点评】：本题属于“理解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求

8、值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）=，sin（α－β）=，求的值．。【解析】===－17【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现