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1、三角恒等变换编稿：李霞审稿：孙永钊【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式sin(a±0)=sinacos0±cosasin0(S{al/?))cos((7±0)=cosacos+sin/7(C(
2、a±/?))tan(«±0)=tan<7±tan/?1-tantan/3"±")要点诠释：1.公式的适用条件（定义域）：前两个公式St，Ct对任意实数B都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式7；处①③中且a、0、a±y?^-+k^（kGZ）2.正向用公式Sg±0）,C（吐0）,能把和差角（a±0）的眩函数表示成单角a,B的弦函数：反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角（a±0）的弦函数。公式：丄⑵正向用是用单角的正切值表示和茅角（q±0）的止切值化简。考点二、二倍角公式1.在两角和的三角函数公式S（_#）,C（"0）,7；a+
3、0）屮，当a=0时，就可得到二倍角的三角函数公式sin2(7=2sinacos«_(S2ez)；cos2tz=cos2a-sin2a(C2a)；tan2a二=2ttan?d要点诠释：rrK7T7T1.在公式52a,C2a中，角a没冇限制，但公式Wa中，只有当+—和"工空+炽伙WZ)时才成立；2.余弦的二倍角公式冇三种：cos26Z=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin26Z；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应川分别起缩角升幕和扩角降幕的作川。zyzy3.二倍角公式不仅限于2a和U的二倍的形式，
4、其它如4a是2(1的二倍，匕是巴的二倍，3a是兰的142二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幕公式:sinacosa=—sin2a2.91-cos2qsirra=；291+cos2qcos~a=.2万能公式:sin2a2tana1+tan2a小1-tan2acos2q=；—1+tarra半角公式:.a,/I-cos«sin—=±J2V2a,il+cosacos—=±A2V22V1+COS(7Ci其中根号的符号由匕所在的象限决定.2要点诠释：(X
5、(1)半角公式屮正负号的选取由一所在的象限确定；23q(2)半角都是相对于某个角来说的，如一可以看作是3。的半几，2a可以看作是4a的半角等等。(3)正切半角公式成立的条件是aH2kn+ir(kEZ)正切还有另外两个半角公式：tan—=S^16Z(a2k+tt)9tan—=-一(a*k兀)、kwZ,这两21+cosq2sina个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由A+B+C=;r,知A=;r-(〃+C)可得出:sinA=sin(B+C),cosA=-
6、cos(B+C).rA兀(B+C)十而_=,有：222【典型例题】类型一：正用公式_21例1.已知：since=3,cos卩=一玄，求cos(q-0)的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得cosa=±Vl-sin2a=sin0=±Jl-cos2^=土』^34当Q在第一彖限而0在第二彖限吋，/々、々•■.V512V152715-V512cos(q—0)=cosacos〃+sinasinp-)+—•—^―当a在第一象限而0在第三象限时，(75,12.丘、2715+75cos(a-/?)=—(--)+y()=12当
7、er在第二象限而0在第二象限时，((V5v12VT52V15+V5当a在第二象限而0在笫三象限吋，(々、(75v1、2(届、2V15-V5cos(a_0)=()(--)+-•()=•【点评】例1是对公式的正用.当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：ji4【变式1】已知心巧,0),cosx=-,则taE24【答案】一一7【变式2】已知tan(x+-)=2，则塑仝4tan2x【答叫【变式3】已知tancr和tan0是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(&+0)的值.【解析】由韦达定理，得tan<2+tan/?=--
8、
9、,tan6Z•tan/?=-3,・・・吨+0)=上叱卫D.1-tan(7-tanf38【高清课堂:三角恒等变换397881例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)sin213
