浅谈初中数学中牛吃草问题

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1、浅谈初中数学中牛吃草问题　　摘要：在初中数学教学中，牛吃草问题是一个很有趣的问题，虽然牛吃草的问题与实际不符，但解决好这种数学问题，有利于激发学生学习数学的兴趣。关键词：初中数学；牛吃草问题；分析研究中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2013）-01-0143-01一、牛吃草问题牛吃草问题是一个很有趣的问题，关键在于牧场每天都长新草，通过两组条件的比较，先求出每天（周）长牧草的新草量，然后把牛分成两部分，一部分吃新草，一部分吃旧草，从而求出吃草的天数。显然牛实际上是不能这样分成两部分去吃草的，但在解数学问题中，这种分成

2、几部分去解决问题的方法，可以使复杂的问题变成简单的问题，化繁为简是常常应用的技巧之一。例：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。如果27头牛6周吃完，23头牛9周吃完，那么21头牛几周吃完？解：设1头牛1周吃的草为1份，27头牛6周吃27×6=162（份），23头牛9周吃23×9=207（份），这说明牧场每周长新草（207-162）÷（9-6）=15（份）。原来（牛吃前）牧场有草5162-15×6=72（份）；吃新草的牛需要15÷1=15（头）吃旧草的牛有21-15=6（头）；吃完草的时间72÷6=12（周）二、牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消

3、长问题或牛顿牧场牛吃草问题的历史起源：英国数学家牛顿（1642—1727）说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：假设定

4、一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。5这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式

5、。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。三、例题例：有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第

6、一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？把每头牛每天吃的草看作1份。5因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260份；所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份；所以45-30=15天，每亩面积长84-60=24份；所以，每亩面积每天长24÷15=1.6份；所以，每亩原有草量60-30×1.6=12份

7、第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24=38.4份，原有草就有24×12=288份；新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80=3.6头牛；所以，一共需要38.4+3.6=42头牛来吃。两种解法：解法一：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60；每亩45天的总草量为：28×45÷15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）÷（45-30）=1.6每亩原有草量为60-1.6×30=12，那么24亩原有草量为12×24=288，24亩80天新长草

8、量为24×1.6×80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360÷80=42（头）。5解法二