数列训练-数列实际应用.doc

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1、数列训练（7）数列实际应用数列实际应用4.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？（可参考数据lg2=0.3，最后结果精确到整数）.解设该地区总面积为1，2006年底绿化面积为a1=，经过n年后绿洲面积为an+1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn+1，则a1+b1=1，a

2、n+bn=1.依题意an+1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an+1=92%·an+12%(1-an)=an+,即an+1-=(an-),∴是以-为首项，为公比的等比数列，则an+1=-n,∵an+1＞50%,∴-n＞,∴n﹤,n＞log==3.则当n≥4时，不等式n﹤恒成立.所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.例3假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一

3、年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)解（1）设中低价房的面积形成的数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)·50=50n+200Sn=250n+×50=25n2+225n,令2

4、5n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10.∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.由题意可知an＞0.85bn,即50n+200＞400·(1.08)n-1·0.85.当n=5时，a5﹤0.85b5,当n=6时，a6＞0.85b6,∴满足上述不等式的最小正整数n为6.∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面

5、积的比例首次大于85%.例4.美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？解：⑴设工作年数为n（n∈N*），第一种方案总共加的工资为S1，第二种方案总共加的工资为S2．则：S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋1000n＝500(n＋

6、1)nS2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n＝300(2n＋1)n由S2>S1，即：300(2n＋1)n>500(n＋1)n解得：n>2∴从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．⑵当n＝10时，由⑴得：S1＝500×10×11＝55000S2＝300×10×21＝63000∴S2－S1＝8000∴在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．⑶若第二种方案中的300美元改成a美元．则＝an(2n＋1)n∈N*∴a＞＝250＋≥250＋＝变式训练4.假设某市2004年新建住房400万

7、平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解：(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-

8、190≥0,而n是正整数,∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1