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1、§6.8线性空间的同构一、同构映射的定义二、同构的有关结论引入我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后，V中每一个向量a有唯一确定的坐标(a1,a2,L,an),向量的坐标是P上的n元数组，因此属于Pn.这样一来，取定了V的一组基e1,e2,L,en,对于V中每一个向量a，令a在这组基下的坐标(a1,a2,L,an)与a对应，就得到V到Pn的一个单射s:V®Pn,aa(a1,a2,L,an)反过来，对于Pn中的任一元素(a1,a2,L,an),a=e1a1+e2a2+L+enan是V中唯一确定的元素，并且s(a)=(a1,a2,
2、L,an),即s也是满射.因此，s是V到Pn的一一对应.这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取a,bÎV,设a=a1e1+a2e2+L+anen,b=b1e1+b2e2+L+bnen则s(a)=(a1,a2L,an),s(b)=(b1,b2,L,bn)从而s(a+b)=(a1+b1,a2+b2L,an+bn)=(a1,a2L,an)+(b1,b2,L,bn)=s(a)+s(b)s(ka)=(ka1,ka2L,kan)"kÎP=k(a1,a2L,an)=ks(a),这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以归结为它们的坐标的运算.一
3、、同构映射的定义设V,V¢都是数域P上的线性空间，如果映射s：V®V¢具有以下性质：i)s为双射ii)s(a+b)=s(a)+s(b),"a,bÎViii)s(ka)=ks(a),"kÎP,"aÎV则称s是V到V¢的一个同构映射，并称线性空间V与V¢同构，记作V@V¢.例1V为数域P上的n维线性空间，e1,e2,L,en为V的一组基，则前面V到Pn的一一对应s:Va®Pn,a(a1,a2,L,an)"aÎV这里(a1,a2,L,an)为a在e1,e2,L,en基下的坐标，就是一个V到Pn的同构映射
4、，所以V@Pn.二、同构的有关结论1数域P上任一n维线性空间都与Pn同构.2设V,V¢是数域P上的线性空间，s是V到V¢的同构映射，则有1）s(0)=0,s(-a)=-s(a).2）s(k1a1+k2a2+L+krar)=k1s(a1)+k2s(a2)+L+krs(ar),aiÎV,kiÎP,i=1,2,L,r.3）V中向量组a1,a2,L,ar线性相关（线性无关）的充要条件是它们的象s(a1),s(a2),L,s(ar)线性相关（线性无关）.4）dimV=dimV¢.5）s：V®V¢的逆映射s-1为V¢到V的同构映射.6）若W是V的子空
5、间，则W在s下的象集s(W)={s(a)aÎW}是的V¢子空间，且dimW=dims(W).证：1）在同构映射定义的条件iii)s(ka)=ks(a)中分别取k=0与k=-1,即得s(0)=0,s(-a)=-s(a)2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果.3）因为由k1a1+k2a2+L+krar=0可得k1s(a1)+k2s(a2)+L+krs(ar)=0反过来，由k1s(a1)+k2s(a2)+L+krs(ar)=0可得s(k1a1+k2a2+L+krar)=0.而s是一一对应，只有s(0)=0.所以可得k1a1+k2a
6、2+L+krar=0.因此，a1,a2,L,ar线性相关（线性无关）Ûs(a1),s(a2),L,s(ar)线性相关（线性无关）.4）设dimV=n,e1,e2,L,en为V中任意一组基.由2）3）知，s(e1),s(e2),L,s(en)为s的一组基.所以dimV¢=n=dimV.5）首先s-1:V¢®V是1－1对应，并且sos-1=IV¢,s-1os=IV,I为恒等变换.任取a¢,b¢ÎV¢,ss(s-1(a¢+b¢))=sos-1(a¢+b¢)=a¢+b¢=sos-1(a¢)+sos-1(b¢)=s(s-1(a¢))+s(s-1(b
7、¢))=s(s-1(a¢)+s-1(b¢))再由s是单射，有s-1(a¢+b¢)=s-1(a¢)+s-1(b¢)同理，有s-1(ka¢)=ks-1(a¢),"a¢ÎV¢,"kÎP所以，s-1为V¢到V的同构映射.6）首先，s(W)Ís(V)=V¢且Q0=s(0)Îs(W),s(W)¹Æ其次，对"a¢,b¢Îs(W),有W中的向量a,b使s(a)=a¢,s(b)=b¢.于是有a¢+b¢=s(a)+s(b)=s(a+b)ka¢=ks(a)=s(ka),"kÎP由于W为子空间，所以a+bÎW,kaÎW.从而有a¢+b¢Îs(W),ka¢Îs(
8、W).所以s(W)是的V¢子空间.显然，s也为W到s(W)的同构映射，即W@s(W)故dimW=dims(W).注由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合及线性相关性，并且同构映射把子空间映
