2010届广东省韶关市高三四校第一次调研数学试卷(理科)

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1、2010届广东省韶关市高三四校第一次调研数学试卷（理科）韶关一中九十七中七中实验中学考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．．【答案】【解析】略2．不等式的解集为．【答案】【解析】由于，所以，所以，所以．3．设M是椭圆上的动点，和分别是椭圆的左、右顶点，则的最小值等于．【答案】【解析】设，则，显然当时，取最小值为

2、．4．设是定义在R上的奇函数，且，，则　　　．【答案】【解析】本题关键“寻规律，找周期”．　　　　由得，；；；，．．．．．．显然的周期为，所以．5．将一个钢球置于由6根长度为m（应该是）的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为　．【答案】【解析】设正四面体为，设点P在底面上的射影为、球心为O、正四面体的边长和高分别为。由于钢球体积最大时与四个面都相切。由题设点P在底面中的射影必是底面的中心。显然O将正四面体分割为四个体积相同的正四面体，所以有，容易求得，代入可求得。所以钢球的最大体积

3、为。6．化简：．【答案】【详解】（方法一）：利用＂两角和公式＂直接求解；（方法二）：　　　　　　．7．已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为．设分别为双曲线的左、右焦点．若，则　　　．【答案】5【详解】由双曲线的一条渐近线方程为可得：，又双曲线的定义知　　　　．8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积．【答案】【详解】凸多面体为：下半部分为正方体，上半部分为正四棱锥．9．已知无穷数列前项和，则数列的各项和为．【答案】【详解】　由可得：，两式

4、相减得并化简：，　　　　又．所以．10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件出现的概率是（结果用数值表示）．【答案】【详解】如下图，当左边的位置排定后（例如：金），第二位（除去金本身）只有“土、水”两种属性。第二位排定后，其他三种属性也确定。故有，金土火木水所以事件出现的概率是。例如：（也可用列举法）。11．已知；（是正整数），令，，．某人用右图分析得到

5、恒等式：，则．【答案】【详解】由图中的面积可得所以．12．已知，直线：和．设是上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是．【答案】【详解】（图略）设．由题设点到两点的距离和为．显然当即时，点到两点的距离和最小．　　同理，所以．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．13．已知向量，若，则等于A．　B．C．D．【答案】C14．已知椭圆，长轴在轴上．若焦距为，则等于A．4B．5C．7D

6、．8【答案】D【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然，即．，解得．15．已知函数定义在上，，则“均为奇函数”是“为偶函数”的A．充分不必要条件　　　　　　B．必要不充分条件C．充要条件　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件【答案】A16．已知，且为虚数单位，则的最小值是A．2B．3C．4D．5【答案】B【详解】数形结合法．设，满足的点均在以为圆心，以１为半径的圆上．所以的最小值是连线的长为3．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）

7、已知，求的值．【详解】原式．……5分又，∴，……9分∴．……12分18．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点．若抛物线过点，求焦点到直线的距离．【详解】由已知可得，……3分解得抛物线方程为．……6分于是焦点．……9分∴点到直线的距离为．……12分19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数．（1）求证：函数在内单调递增；（2）记为函数的反函数．若关于的方程在上有解，求的取值范围．【详解】（1）任取，则，∵，∴，∴，∴，即函数在内

8、单调递增．……6分（2）∵，……9分[解法一]　∴……11分当时，，∴∴的取值范围是．……14分[解法二]解方程，得……11分∵，∴，解得∴的取值范围是．……14分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）．凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为，②三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面．（