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《立体几何中的综合性问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、立体几何中的综合性问题例1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1．(1)在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的弦值；(3)在(2)的条件下，求出平面PQD与平面PAB所成角的大小．解析：(1)假设存在Q，使得PQ⊥QD∵PA⊥平面ABCD，∴QD⊥平面PAQ，∴QD⊥AQ．从而有AD2＝AQ2＋QD2设CQ＝x，则BQ＝a－x，于是AQ2＝1＋(a－x)2，QD2＝1＋x2∴AD2＝(a－x)2＋x2＋2＝2x2－2ax＋a2＋2＝a2即x2－ax＋1＝0△＝a
2、2－4∴当a＞2即△＞0时，方程x2－ax＋1＝0有两解，即存在两个点Q，使PQ⊥QD；当a＝2即△＝0时，方程x2－ax＋1＝0有解，即只有一个点Q，使PQ⊥QD；当0＜a<2时，方程x2－ax＋1＝0无解，即不存在点Q，使PQ⊥QD(2)当BC上有且仅有一个点Q，使得PQ⊥QD，可知BC＝2，此时x＝1，点Q为BC的中点，过A在平面PAQ上作AF⊥PQ，垂足为F，连FD。∵QD⊥平面PAQ∴QD⊥AF又∵AF⊥PQ∴AF⊥平面PQD，故∠FDA是直线AD与平面PQD所成的角PQ＝＝＝AF＝＝＝，∴sin∠FDA＝＝＝．(3)易知△PQD在面PAB内的射影就是△PAB在rt△PAQ中，
3、PQ＝＝＝∴S△PQD＝·QD·PQ＝··＝S△PAB＝×1×1＝．设平面PQD与平面PAB所成角为，则，故所求二面角为．例2．（06江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形。（1）求证：AD^BC。（2）求二面角B－AC－D的大小（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在确定E的位置；若不存在，说明理由。解法一:(1)方法一:作面于,连又,则是正方形.则方法二:取的中点,连、,则有(2)作于,作交于,则就是二面角的平面角.是的中点,且∥，则由余弦定理得(3)设为所
4、求的点,作于,连.则∥。就是与面所成的角,则.设,易得解得故线段上存在点,且时,与面成角.解法二:（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则(2)设平面的法向量为则由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,三面角的大小应等于<>。则<>,即所求二面角的大小是.(3)设是线段上一点,则平面的一个法向量为要使与面成角,由图可知与的夹角为,所以则,解得,,则故线段上存在点,且,时与面成角.例3．（06山东卷）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面
5、上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.解法一：平面，；又，由平面几何知识得：（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，，。又四边形是平行四边形。是的中点，且；又，为直角三角形，。在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）及三垂线定理知，为二面角的平面角，，，二面角的大小为（Ⅲ）连结，平面平面，.又在中，，，.故时，平面解法二：平面.又，，由平面几何知识得：.以为原点，分别为轴建立如图所示
6、的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，（Ⅰ），，。。故直线与所成的角的余弦值为（Ⅱ）设平面的一个法向量为，由于，，由得取，又已知平面ABCD的一个法向量，.又二面角为锐角，所求二面角的大小为（Ⅲ）设，由于三点共线，，平面，ABA1B1αβl由（1）（2）知：，。，故时，平面。
