泰勒公式应用论文

《泰勒公式应用论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、泰勒公式应用毕业论文目录一、Taylor公式简介1（一）Taylor公式的基本形式1（二）Taylor公式余项类型2（三）Taylor公式的定理5二、Taylor公式的证明6（一）Taylor公式证明初探6（二）证明Taylor公式6三、Taylor公式的应用7（一）利用Taylor公式求极限8（二）利用Taylor公式判断函数的极值9（三）利用Taylor公式判定广义积分敛散性10（四）利用Taylor公式证明中值定理11（五）利用Taylor公式求行列式的值13（六）Taylor公式在关于界

2、的估计的应用14谢辞17参考文献1817一、Taylor公式简介随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非

3、常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。（一）Taylor公式的基本形式无论在近似计算或理论研究上，我们总是希望用一个多项式来近似地表示一个比较复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。比如，为了计算多项式的值，只须用加、

4、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其他函数甚至很简单的初等函数所不具有的特点。设给定了一个函数，我们要找到一个在指定点附近与很近似的多项式。现在可以回顾一下函数的微分。在研究微分用于近似计算时，我们有一个近似公式，即(1.1)公式表明，在点附近的函数值可以用的一次多项式近似表示，且当（此时是无穷小），所产生的误差为较高阶的无穷小。现在的问题是，用这样的一个一次多项式来近似计算，它的精确度往往并不能满足实际的需要。因此我们希望找到一个关于的次多项式17(1.2)来近似表示，并使当时，其误差是较高

5、阶的无穷小。要想这样，那么多项式的系数，究竟应当取何数呢？这个问题，无疑要根据给定的函数来确定，并且可以从前面的(1.1)式得到启发，我们把，与一次多项式，对照一下，可知应该取，而的这两个数值可以由等式，分别求得。事实上，由此不难推想，为了确定次多项式的全部系数，我们应该假定在点附近具有直到n+1阶的导数，别且满足下列条件：(1.3)由(1.2)计算在点的各阶导数值，代入上面等式(1.3)，得，即，代入(1.2)式则得(1.4)这就是我们找的关于的n次多项式，称为在点的n次泰勒多项式。它的各项系

6、数是以在点的各阶导数表出的。（二）Taylor公式余项类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异。定性的余项如佩亚诺型余项，表示余项是比（当17时）高阶的无穷小。如，表示当时，用近似，误差（余项）是比高阶的无穷小。定量的余项如拉格朗日型余项（也可以写成）。泰勒多项式表示时所产生的误差，当时，它是比高阶的无穷小。其中称为n阶余项。根据上面的假定，在点附近具有n+1阶导数（因已假定在点附近具有n+1阶导数，而多项式具有任何阶导数），并注意到等式(1.3)，则有

7、因此，当时，是型不定式。我们反复应用洛比达法则，可推得即。这就证明了，当时，余项是比17高阶的无穷小。因此所找到的多项式满足了我们最初提出的要求。我们记，这样一来，给定的函数就可以表示为余项叫做皮亚诺（Peano）型余项。应给指出的是，皮亚诺余项只是对余项给出一个阶的估计，它仅说明当时是比还要高阶的无穷小。因此只是说明了在时的极限性质。如果在点附近具体取定了一个值，那么余项到底有多大，从皮亚诺余项是无从得知的。下面介绍利用的导数表示的余项，即所说的拉格朗日型余项。我们先对两个函数和在以和为断点的

8、区间上应用柯西中值定理，得（在与之间）再对两个函数和在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，得17（在与之间）如此继续进行n+1次后，便得（在与之间）而（因是n次多项式，所以），故由上式得（在与之间）这就是的导数表示的余项，称为拉格朗日型余项。综合以上的讨论，我们得到了一下的重要定理。（三）Taylor公式的定理定理1.1（泰勒定理）如果函数在点的附近有直到n+1阶的导数，则对于点附近的，可表示为的n次多项式与余项的和(1.5)其中（在与之间）定理中的(1.5)式称为具有拉格朗日型余项的泰勒公式。