2022版高考数学一轮复习第七章立体几何第六讲空间向量及其运算学案理含解析新人教版.doc

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1、高考第六讲　空间向量及其运算(理)知识梳理·双基自测知识点一　空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量，其大小叫做向量的__长度__或__模__．(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线__平行__或__重合__，则这些向量叫做__共线向量__或__平行向量__．(4)共面向量：平行于同一__平面__的向量叫做共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝

2、λb．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作__〈a，b〉__，其X围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b．向量a，b的数量积a·b＝__

3、a

4、

5、

6、b

7、cos〈a，b〉__．-19-/19高考(2)空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__．知识点二　空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共线a＝λb(b≠0)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模

8、a

9、____夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝____1．向量三点共线定理在平面中

10、A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．题组一　走出误区-19-/19高考1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c．(　×　)(4)两向量夹角的X围与两异面直线所成角的X围相同．(　×　)(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝

11、0．(　√　)(6)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　×　)题组二　走进教材2．(必修2P97A组T2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　)A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c[解析]＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．3．(必修2P98T3)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____．[解析]

12、

13、2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2

14、×1×cos120°)＝2，∴

15、

16、＝，∴EF的长的．题组三　走向高考4．(2018·课标Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线-19-/19高考AD1与DB1所成角的余弦值为(　C　)A．B．C．D．[解析]以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝1，AA1＝，∴A(1,0,0)，D1(0，0，)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，＝(－1,0，)，＝(1,1，)，设异面直线AD1与DB1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C．5．(2020·某

17、某，22)在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点．求直线AB与DE所成角的余弦值．[解析]连接OC，因为CB＝CD，O为BD的中点，所以CO⊥BD．又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．以{，，}为基底，建立空间直角坐标系O－xyz．-19-/19高考因为BD＝2，CB＝CD＝，AO＝2，所以B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)．因为E为AC的中点，所以E(0,1,1)．则＝(1,0，－2)，＝(1,1,1)，所