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1、§1插值型数值求积公式教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。教学时数12学时教学过程1．1一般求积公式及其代数精度设(x)是(a,b)上的权函数，f(x)是[a,b]上具有
2、一定光滑度的函数。用数值方逑下积分b(x)f(x)dxa的最一般方法是用f(x)在节点ax0x1xnb上函数值的某种线性组合来近似bn(x)f(x)dxAif(xi)ai0其中Ai,i0,,n是独立于函数f(x)的常数，称为积分系数，而节点xi,i0,1,,n称为求积节点。我们也可将（1．2）写成带余项的形式bn(x)f(x)dxAif(xi)R[f]ai0（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数f(x)在某些点的低阶导数值。在（1.3）中余项R[x]也称为求积公式的截断误差。一个很自然的想
3、法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。定义1若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都精确成立，而对xm1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。例1确定求积公式114f(0)f(1)]f(x)dx[f(1)13的代数精度。解Ikxkdx1(1)k10,k为奇数121k1为偶数k,k1f(x)1411)2I0;1,(13f(x)x,1(1401)0I1;3f(x)x2,1(101)2I2;33f(x)x3,1(101)0I3;3f(x)
4、x4,1(101)22I4。335从而该求积公式的代数精度为m3。对给定节点，ax0x1xnb,如何选择求积系数A0,,An,使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。1．2插值型求积公式对给定求积节点ax0xnb,构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。设Ln(x)是f(x)关于x0,x1,xn的Lagrange插值多项式nLn(x)f(xk)lk(x)k0其中nxxl,k0,1,,n.lk(x)l0xkxllk为Lagrange基函数。取bbnb(x)f(x)
5、dx(x)Ln(x)dxf(xk)(x)lk(x)dxaa0aknAif(xi)i0其中b(x)li(x)dx,i0,1,,n。Aia定义2对给定互异求积节点ax0xnb，若求积系数Ai,i0,1,,n是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度mn。证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则bnba(x)f(x)dxAif(xi)(x)[f(x)Ln(x)]dxi0ab(x)f(n1)((x))(xx0)(xx1)(xxn)dxa(n1)!上面我们假设了f(x)C(n
6、1)[a,b]。从而当f(x)为次数n的代数多项时必精确成立，故有mn。假设mn。注意到多项式lk(x)(k0,,n)的次数为n，对f(x)=lk(x)数值求积精确成立，从而bn(x)lk(x)dxAilk(xi)Ak(k0,,n)ai0即其求积系数由（1．4）给出。推论1对给定求积节点ax0x1xnb，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。例2求插值型求积公式A1f(1)f(x)dxA0f(1)1122并确定其代数精度。解x01,x11,l0(x)1x,l1(x)x1。A02221)dx12(x1)dx1,A1(x111212从而求积公式
7、为f(1)f(1)f(x)dx1122且m1。对f(x)x2,f(1)f(1)1x2dx2122213m从而1。若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。推论2若fC(n1)[a,b],(1.3)是插值型求积公式，则有余项公式R[f]b(x)f(n1)((x))n1(x)dxa(n1)!其中n1(x)(xx0)(xx1)L(xxn).1．3Newton-Cotes求积公式xxiabaiLn在[a,b]上i()1,n,0,1,,的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称
8、之为Newton-Cotes求积公式。设hba,令xath,则求积系数为nAl(x)dxh(nti)dxbnkak0i0kiik(ba)Ck(n)其中Ck(n)1(kni))dt
