周期数列详解.docx

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1、。周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列{an}，如果存在一个常数T(TN)，使得对任意的正整数nn0恒有anTan成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列。若n01，则称数列{an}为纯周期数列，若n02，则称数列{an}为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。设{An}是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(modm),且Bn在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m的模数列,记作{An(modm)

2、}。若模数列{An(modm)}是周期的,则称{An}是关于模m的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T是数列{an}的周期，则对于任意的kN，kT也是数列{an}的周期。3、若数列{an}满足anan1an2（nN，且n2），则6是数列的一个周期。4、已知数列{an}满足antan（n,tN，且t为常数），Sn分别为{an}的前n项的和，若nqtr（0rt，rN），则anar，SnqStSr。特别地：数列{an}的周期为6，（即：an6an）则S2012335S6S25、若数列{

3、an}满足ananks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列；若数列{an}满足anan1anks(nk,nN)，则数列{an}是周期数列。若数列{an}满足anan1anks(nk,nN,s0)，则数列{an}是周期数列。特别地：数列{an}满足anan1s(nk,nN)，则数列{an}周期T=2；-可编辑修改-。数列{an}满足anan1an2s(nk,nN)，则数列{an}周期T=3数列{an}满足anan1s(nk,nN)，则数列{an}周期T=2；数列{an}满足anan1an2s(nk,nN)，则数列{an

4、}周期T=3aan1b,a+d=0,则数列{an}是周期T=2；6、若数列{an}满足andcan1例：数列{an}满足an3an17an,则数列{an}是周期T=2；；13三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（1）数列1，2，1，2，1，2，⋯的通项公式解析：原数列可构造成：31，31，31，31，31，31，⋯⋯，222222222222它的通项公式可以写成：an3(1)n1(n∈N)，22或者写成：an31sin(2n)(n∈N)，2231(n∈N)，又或者写成：ancosn22总结：一般的数列a，b，a

5、，b，a，b，⋯⋯它的通项公式可以写成：an1(ab)1(ba)cosn(n∈N)22（2）1，0，1，1，0，1，⋯⋯的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数ytanx进行改造，使它们能发生2联系。事实上，当x分别为，0，，333，，4，⋯⋯时，tanx的值分别为33，0，3，3，0，3，⋯⋯-可编辑修改-。这样1，0，1，1，0，1，⋯⋯的通项公式可以写成：1tan(n2)31(n∈N)所以，原数列的通项公式为bn2tan(n2)3（3）数列{cn}：1，2，3，4，1，2，3，4，⋯⋯的通项公式解

6、析：将原数列扩大2倍：2，4，6，8，2，4，6，8，⋯⋯再减去平均数5得到：3，1，1，3，3，1，1，3，⋯⋯分解成两个数列：(1)1，1，1，1，1，1，1，1，⋯⋯(2)2，2，2，2，2，2，2，2，⋯⋯(1)的通项公式为(1)n易得，(2)的通项只要求出1，1，1，1，1，1，1，1，⋯⋯的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：c1n2sin(1n1)(n∈N)，24∴2，2，2，2，2，2，2，2，⋯⋯的通项为：11c2n22sin(n)(n∈N)

7、，24∴3，1，1，3，3，1，1，3，⋯⋯的通项为：c3n(1)n22sin(1n1)(n∈N)，24则原数列{cn}的通项为：cn1[5(1)n22sin(1n1)](n∈N)。224-可编辑修改-。（4）{cn}：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，⋯⋯的通项公式乘以(－4)得：4，4，4，4，8，8，8，8，12，12，12，12，⋯⋯，加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，⋯⋯，它的通项公式为：cn'1[5(1)n22sin(1n1)]224又cn'4cn

8、(n4)化简整理得：cn1[2n3(1)n22sin(1n1](n∈N)。8242、求数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列{an}中，a13,a25且对于大于2的正整数，总有anan1an2，则a2009等于（）．A．-5B．-2C．2D．3．解析：由性质（2）知，数列{an}是以6为周期的周期数列，而2