高数极限习题.docx

《高数极限习题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章导数与微分典型例题分析客观题f(x0ax)f(x0bx)例1设f(x)在点x0可导,a,b为常数,则lim(x0xAabf(xo)B(ab)f(x。)C(ab)f(x。)D-f(xo)b答案C解f(xoax)f(xobx)limx0x11mo[f(xoax)f(xo)][f(xobx)f(xo)]f(xoax)f(xo)f(xobx)f(xo)alimblimxoaxxobx(ab)f(xo)a的某个邻域内有定义，则f（x）在xa处可导的一个充分条例2(893。3)设f(x)在x件是().1.(A)limhfa-f(a)存在hhf(ah)f(ah)(C

2、)lim存在ho2h答案D解题思路1(1)对于答案(A),不妨设一x,当hhlimhfa-f(a)lim-f-(a-hhxof(a2h)f(ah)-(B)lim-存在hohf(a)f(ah),,(D)lim—存在hoh时，xo,则有x―侬存在，这只表明f（x）在xa处xa处的函数值f（a）,因此与导数概念右导数存在，它并不是可导的充分条件，故（A）不对.（2）对于答案（B）与（C）,因所给极限式子中不含点不相符和.例如，若取f(x)1,xao,xa则（B）与（C）两个极限均存在，其值为零，但limf（x）of（a）1,从而f（x）在xaxa处不连续，因而不可

3、导，这就说明（B）与（C）成立并不能保证f（a）存在，从而（B）与（C）也不对.⑶记xh,则xo与ho是等彳^的，于是f(ah)f(a)him0f(a)f(ah)lXm0hf(ax)f(a)xhim0f(ah)f(a)f(a)him0所以条件D是f(a)存在的一个充分必要条件例3(00103)设f(0)0,则f(x)在点X(C)limh0答案B解题思路1h21hf(1f(h⑴当h0时,limfMo^h0h2cosh)存在sinh)存在1coshh2f(1若记u1cosh,当hlimf(1cosh)f(0)h01cosh于是0可导的充要条件为()—1一一h、(

4、B)lim-f(1e)存在h0h_1.(D)lim-f(2h)f(h)存在h0h1~m—.所以如果2cosh)f(0)h20时，u0「f(u)lim——h0，所以f(0)uf(0)存在，则必有him0f(1cosh)f(0)1cosh1coshh2f(0)f(1cosh)1limf(0)h0h22这就是说由f(0)存在能推出但是由于当h0时，恒1h7有f(1cosh)存在.1cosh0，而不是ulimh0存在.(2)1.声■f(1cosh)存在只能推出(0)limf(x)X他存在,而不能推出f(0)0时，1ehho(h),于f(1limh0h由于当heh)l

5、imf(ho(h))f(0)him00时,f(ho(h))ho(h)ho(h)既能取正值，又能取负值f(0)f(h)f(0)—存在与lim—-h0hf(ho(h))f(0)ho(h),所以极限f(0)存在是互相等价的.因而,_1极限limh0hf(1eh)存在与f(0)存在互相等价.0时,lim皿h0hsinh)2用洛比塔法则可以证明limh0limf(hsinh)f(0)h0hsinhhsinhh31「一，所以6hsinh,limo-hh0h3f(hsinh)f(0)..由于h0,于是由极限lim--limh0hsinhh0hsinhh3h存在未必推出f(

6、hsinh)f(0)ilim也存在，因而f(0)未必存在.h0hsinh(4)f(x)在点x0可导一定有(D)存在，但(D)存在不定f(x)在点x0可导.2例4(98203)函数f(x)(x(A)0(B)132)

7、xx^()个不可导点(C)2(D)3答案C解题思路当函数中出现绝对值号时,不可导的点就有可能出现在函数的零点零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点x00,x1,因为函数1考察导数的存在性解将f(x)写成分段函数f(x)(x(x(x(x2)x(12)x(x2)x(12)x(xx2),1),x2),1),1,x.⑴在x。0附近,f(x)写成分

8、段函数f(x)(x2x2)

9、x3x

10、x(x2x(x2容易得到f(0)limx0f(0)lim由于fx(0)f(x)f(0)xf(x)f(0)xlim(x2x0lim(x2x0f(0)，所以f(0)不存在.(2)在x11附近，f(x)写成分段函数：f(x)(x2一3x2)

11、xx

12、x(1x(1f(1)limx1f(1)lim由于fx(1)f(x)f⑴x1f(x)f⑴x1limx1limx1x(1x(1⑶在x2f(1)，所以f(1)不存在.1附近，f(x)写成分段函数f(x)(x23x(1x2)

13、x3x

14、'x(10,1,x)(x2x)(x22)(x21),x2)(

15、1x)(x2x)(x2x)(x2x)(x22)(x2