概率论与数理统计期末复习题

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1、计算题1、一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。若已知该箱产品已通过验收，求该箱产品中确实没有次品的概率。解：设“箱中有件次品”，由题设，有，又设“该箱产品通过验收”，由全概率公式，有故即通过验收的该箱产品确实没有次品的概率是0.37。2、设随机变量与独立同分布，且都服从标准正态分布，求随机变量的概率密度解：因为与独立同分布，且都服从标准正态分布所以首先求Z的分布函数当时，所以当时，令则上式所以密度函数3、设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）

2、判断与的独立性。解：（1）区域G的面积为（X、Y）的联合概率密度为（2）X的边缘概率密度为=Y的边缘概率密度为=（3）显然，所以X与Y不独立。4．对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5.求100次炮击中有380至420颗炮弹命中目标的概率.解答：设表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有，则次炮击命中目标的炮弹数，因相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是.应用题1、由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？（供参考：X，）解

3、设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为件，则当（）时就不会脱销，因而按题意要求为因为已知服从的普哇松分布，上式也就是由题意，，即于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.2、据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X服从[2000,4000]（单位：吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？解：设应组织货源吨，显然则收益为因为X的密度为所以当时，达到最大证明题设随机变量序列独立同分布，其密度函数为其中为未知参数。令，试证：。证明：因

4、为的分布函数为所以，有故。计算题1已知离散型随机变量X的分布列为求的分布列。2、设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为（1）求；（2）求X和Y的边际密度，并判断X与Y是否相互独立?应用题1、设有一笔资金，总量记为1（可以是1万元，也可以是100万），如今投资甲、乙两种证券。若将资金投资于甲证券，将余下的资金投资于乙证券，于是就形成了一个投资组合。记X为投资甲的收益率，Y为投资乙的收益率，它们都是随机变量。如果已知X和Y的均值（代表平均收益）分别为和，方差（代表风险）分别为0.25和0.64，X和Y的相关系数为0.4.求该投资组合的平均收益与风险（方差），并求使投资风险最小的投资组合。

5、2、有一电站供1000台设备用电，各台设备用电与否是相互独立的，若各台设备用电量（度）在[0,60]上服从均匀分布。问若以0.99的概率保证这1000台设备用电，电站至少需供应多少度电？3、设总体X的概率密度函数是>0为未知参数，是一组样本值，求参数的最大似然估计。　4、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?五、证明题设为独立的随机变量序列，且，证明服从大数定律.计算题1、解：上述步骤可以省去所以的分布列为

6、2、解：（1）（2）得得即可得，所以X与Y不独立。应用题1、解：设投资组合的收益为Z，则令得驻点且所以当时投资风险最小，即使投资风险最小的投资组合为。2、解：设各台设备用电量分别为Xi(i=1,2,…,1000)，则1000台设备的用电量为X=X1+X2+…+X1000依题意知，EXi=(0+60)/2=30，DXi=(60-0)2/12=300，因此EX=30000，DX=300000，由中心极限定理，设电站需供应a度电,由题意得，查表得即，得所以电站至少需供应31276.19度，才能以0.99的概率保证这1000台设备用电。3、解：似然函数为（）（）　令得且所以参数的最大似然估计为4

7、、解：提出假设选取统计量拒绝域为：或把，代入得实测未落入拒绝域，接受，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。证明题1、证明：因所以，且相互独立，由此得马尔可夫条件而，，由夹逼准则由马尔可夫大数定律知服从大数定律.计算题11、假设，，试在以下不同条件下分别求：（1）；（2）互不相容；（3）独立。解：（1）（2）（3）12、某厂两条流水线生产彩电，产量分别占总量的40%和60%，次品率分别为0.02和0.01。现在出厂彩