展开成傅立叶级数

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1、9.6.3函数展开成傅立叶级数函数展开成傅立叶级数收敛定理(狄里克莱(Dirichlet)充分条件)设函数在区间满足如下条件：连续或只有有限个第一类间断点，或具有有限个极值点，则的傅立叶级数在上收敛。且(1)当x是的连续点时，级数收敛于；(2)当x是的间断点时，级数收敛于；(3)当x时,级数收敛于。收敛定理并没有要求是周期函数，只要求函数在区间上满足收敛定理的条件，则这个函数就能在这个区间上展为收敛的傅立叶级数。当的傅立叶级数在上收敛时，由于它的各项都以为周期，所以对任何实数该级数也收敛、因该级数的和函数是以为周期的周期函数．—般说来，在区间以外，该级数与函数就没有关系了，因

2、此不能把级数的和函数的图形与函数的图形混为—谈．如果是上，以为周期的函数，且满足收敛定理条件，则它的傅立叶级数就在数轴上收敛；在的连续点处，级数收敛于；如果在上，是以为周期的连续函数，则它的傅立叶级数的和函数就是。根据上述讨论，可以按下列步骤把函数展开为傅立叶级数．(1)验证满足收敛定理的条件。(2)求出的傅立叶系数。(3)写出的傅立叶级数，并根据收敛定理讨论这个级数在的收敛情况。(4)画出傅立叶级数的和函数在上的图形。例1展开函数为傅立叶级数。解这个函数满足收敛定理的条件,x=0是第—类间断点，先求它的傅里叶系数。所以函数的傅里叶级数展开式为函数满足收敛定理提出的条件，它在

3、，处有第一类间断点，在其他点处连续．因此的傅里叶级数收敛，当级数收敛到或在其它点处级数收敛到。级数和函数的图形如图所示如果把例1中的函数理解为描写矩形波的函数(周期T＝，幅值E＝1，时间用变量x表示)，则上面所得到的展开式表明：矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成，这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍．例2设是周期为的周期函数，它在区间上的表达式为试将函数展开成它的傅里叶级数。解所以函数的傅里叶级数展开式为函数满足收敛定理提出的条件，它在，处有第一类间断点，在其他点处连续。因此的傅里叶级数收敛，当级数收敛到在其它点处级数收敛到。级数和函数的图形如图所示．小结:傅里叶级数

4、的展开方法.作业:习题9.6234