【知识】数学知识概括

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1、精心整理欢迎下载二、导数与微分导数的概念在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生

2、了导数的定义，如下：导数的定义：设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。注：导数也就是差商的极限函数的微分学习函数的微分

3、之前，我们先来分析一个具体问题：一块正方形金属薄片受温度变化的影响时，其边长由x0变到了x0+△x，则此薄片的面积改变了多少？解答：设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自变量x从x0取的增量△x时，函数A相应的增量△A，即：。从上式我们可以看出，△A分成两部分，第一部分精品学习资料可选择pdf第1页，共18页-----------------------精心整理欢迎下载是△x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分，当△x→0时，它是△x的高阶无穷小，表示为：

4、由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义：函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为，其中A是不依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：=。以数零为极限的变量。确切地说，当自变量x无限接近x0(或x的绝对值无限增大)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)→0，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。例如，f(x)＝(x－1)2

5、是当x→1时的无穷小量，f(n)＝是当n→∞时的无穷小量，f(x)＝sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。设f(x)，g(x)均为x→x0(或x→∞)时的无穷小量，且f(x)/g(x)→0，则称f(x)是g(x)的高阶无穷小量，记作f(x)=o(g(x))。通过上面的学习我们知道：微分是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0时，△y≈dy.导数的记号为：，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且

6、还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。微分的应用微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.四、不定积分不定积分的概念原函数的概念已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有精品学习资料可选择pdf第2页，共18页-----------------

7、------精心整理欢迎下载dF'(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例：sinx是cosx的原函数。关于原函数的问题函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那末原函数一共有多少个呢？我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，即：F"(x)=f(x)，则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.不定积分的概念函数f(x)的全体原函数叫做函

8、数f(x)的不定积分，记作。由上面的定义我们可以知道：如果函数F(x)为函数f(x)的一个原函数，那末f(x)的不定积分就是函数族F(x)+C.即:=F(x)+C例题：求：.解答：由于，故=不定积分的性质1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：2、