低阶群的结构

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx低阶群的结构【精品文档】《近世代数基础》团队学习小论文2015届论文题目：低阶群的结构组  长朱陈胤        团队成员 朱家彬、章媛、赵慧院  系 数理信息学院     专业班级 数学与应用数学152       指导教师尹幼齐         完成日期    【精品文档】【精品文档】低阶群的结构摘要本文主要利用群的三个基本同构定理，Sylow定理和

2、同余的关系对低阶群的结构进行分析。根据低阶群的基本性质可知，阶为素数的群一定是循环群。此外，低阶群可推出高阶群的结构，利用素数的幂方和倍数来讨论问题。由于群的概念太过宽泛，低阶群的定义较广，故本文只讨论到20阶群的性质，其它低阶群的性质可同理推出。关键词：群的基本同构定理；Sylow定理；同余；【精品文档】【精品文档】目录目录3引言12．阶数不超过20的群的个数和种类23．（p为素数）阶群的结构23.1p阶群必为循环群，只有一种类型。23.2阶群必为交换群，有两种类型：23.2.1︱G︱﹦433.2.2︱G︱﹦933.3阶非交换群（分p=2和p

3、2），有下列情形：33.3.1︱G︱﹦88阶群的结构共5种。44.2p（p为素数）阶群的结构5︱G︱﹦654.2︱G︱﹦1064.4︱G︱﹦1465.阶为特殊值时群的结构75.11阶群的结构75.212阶群的结构75.315阶群的结构75.416阶群的结构75.518阶群的结构75.620阶群的结构85.721阶群的结构96参考文献9【精品文档】【精品文档】引言群是近世代数的一个重要内容，而其中低阶群的结构就研究群的整体来说有极为重要的意义。许多抽象群或高阶群均可利用低阶群的结构推导出来。在社会不断进步的同时，群也在不断地发展、不断地完善。直至

4、现在，还有很多人致力于矩阵的研究。本次课题的主要研究内容为归纳、总结群论在实际生活等领域的应用。通过本次课外团队学习的研究，使我们对群有了更深一步的了解，如知道了很多有关于群的发展史及其存在方式的多样性。研究群让我们的思维变得更加灵活，面对抽象的问题能更好的从容应对，它的神奇足以给我们以学好近世代数莫大的鼓励和支持。1若干定义及定理的准备定义1.1我们说一个不空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说做成一个群满足一下条件：（a）G对于乘法来说是闭的（b）结合律成立，即(ab)c=a(bc)对于G中的任意三个abc（c）G里至少存在一个左单位元e，

5、使得ea=a对于G的任意元都成立（d）对于G的每一个元a在G里至少存在一个左逆元，能让定义1.2若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，并用G=(a)表示，a叫生成元。【精品文档】【精品文档】定义1.3若在G和间对运算o和o’来说存在一个同构映射，我们说对于代数运算o和o’来说G和同构并用符号G≌G’来表示.定理1.4有限阶群中元的阶是群的阶的因数.定理1.5群G中阶大于2的元素必成对出现.定理1.6若群G的阶为s，则群G中阶等于2的元素个数t于s的奇偶性相反，偶数阶群中t0定理1.7Sylow定理：设G是群且G

6、=且p是素数，p不整除m，则称G的阶子群为G的一个Sylowp-子群，则有以下条件满足1）G有（）阶子群；2）G的每个（）阶子群必包含在G的某个阶子群内，且前者是后者的正规子群；3）G的所有Sylowp-子群恰是G的共轭子群类，且若其个数为K，则,K1(modp)定理1.8群的第一基本同构定理：设A和B是两个群的结构，f是A到B的态射，则A等价关系Φ：a~b当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类，并且A/Φ同构于f的像（B的子代数）。定理1.9群的第二基本同构定理：设B是A的子代数，Φ是A上的同余类。令[B]Φ是所有包含B种元素的同余类的

7、集合，它是A/Φ的一个子集；ΦB是Φ限制在BxB上的部分。那么[B]Φ是A/Φ的子代数结构，ΦB是B上的同余类，并且[B]Φ同构于B/ΦB。定理1.10群的第三基本同构定理：设A是一个代数结构，Φ和Ψ是A上的两个同余关系，Ψ包含于Φ。则Φ定义了A/Ψ上的一个同余类Θ：[a]~[b]当且仅当a与b关于Φ同余（[a]表示a所在的Ψ-等价类），并且A/Φ同构于(A/Ψ)/Θ。【精品文档】【精品文档】2．阶数不超过20的群的个数和种类从1到20的阶的不同的群的个数（群的个数按同构意义来分）以下表给出：阶数123456789101112131415161

8、7181920群数1112121522151211415153．（p为素数）阶群的结构3.1p阶群必为循环群，只有一种类型。3.1.1︱G︱﹦2G={