3线性方程组

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1、.3线性方程组3.1知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)3.1.1基本概念a11x1a12x2LLa1nb1a21x1a22x2LLa2nb21、方程组LLLLLLLLLLLLLLLam1x1am2x2LLamnbm称为含n个未知量m个方程的线性方程组，i)倘若b1,b2,....,bm不全为零，则该线性方程组称为非齐次线性方程组；ii)若b1=b2=LL=bm0，则该线性方程组就是齐次线性方程组，a11x1a12x2LLa1nc1a21x1a22x2LLa2nc2这时，我们也把该方程组称为的导出组，L

2、LLLLLLLLam1x1am2x2LLamncm（其中c,c,...c不全为零）12mxb11a11Ka1nx2b22、记A=MOM,x,bMMam1Lamnxnbm则线性方程组（*）又可以表示为矩阵形式AxbLLLLa1ja2j3、又若记j,j1,2,LnMamj则上述方程游客一写成向量形式x11x22LLxnnb.LLLLLLLLLLLLL。同时，为了方便，我们记A(A,b)，称为线性方程组（*）的增广矩阵。3.1.2线性方程组解的判断1/12'.1、齐次线性方程组Ax=0，（n=线性方

3、程组中未知量的个数对于齐次线性方程组，它是一定有解的（至少零就是它的解），i)那么，当r=秩(A)=n时，有唯一零解；ii)当r=秩(A)<n时，又非零解，且线性无关解向量的个数为n-r.2、非齐次线性方程组Ax=b秩(A)<秩(A)无解；秩(A)=秩(A)=n,有唯一解，秩(A)=秩(A)秩(A)=秩(A)<n,有无穷多解，且基础解系个数为n-秩(A).秩(A)>秩(A)不可能3.1.3线性方程组的解空间1、齐次线性方程组的解空间（作为线性方程组的一个特

4、殊情形，在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解的关系，我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间）定理：对于数域K上的n元齐次线性方程组的解空间W的维数为dim(W)=n-秩(A)=n-r，其中A是方程组的系数矩阵。那么，当齐次线性方程组[(*)--ii)]有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的数目都等于n-秩(A)。2、非齐次线性方程组的解空间我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系，那么我们可首先求出非齐次线性方程组的一个解0（称其为方程组特解）；然后在求对应的导出组的解空间（设该解空间的基础解系为

5、1，2，...n-r），则(*)解空间的维数为n-r，且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为：0+k11k22+...+kn-rn-r.................()我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解.2/12'.3.2经典题型解析121x111、已知方程组23a2x23无解，试求a的取值1a2x031211解：方程组的增广矩阵A23a23（初等行变换不影响线性方程组的1a20解）1211进行一系列的初等行变换uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur01a10

6、a231121101a100(a3)(a1)a3由于方程组无解秩(A)<秩(A),秩(A)<3(a3)(a1)0a3或a1i)当a3时，秩(A)=2=秩(A)，方程组又无穷多解；ii)当a1时，秩(A)=2<3=秩(A)，方程组无解综上可得，a1易错提示：对方程组有解、