几类随机传染病模型的渐近行为

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分类号：密级：UDC：学号：405510413068南昌大学硕士研究生学位论文几类随机传染病模型的渐近行为AsymptoticBehaviorofStochasticEpidemicModels聂丹丹培养单位（院、系）：南昌大学理学院数学系指导教师姓名、职称：熊佐亮教授申请学位的学科门类：理学硕士学科专业名称：运筹学与控制论论文答辩日期：2016年5月28日答辩委员会主席：王胜华评阅人：王胜华朱传喜2016年5月 学位论文独创性声明一、学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名（手写）：签字日期：年月日二、学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权北京万方数据股份有限公司和中国学术期刊（光盘版）电子杂志社将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》和《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》中全文发表，并通过网络向社会公众提供信息服务，同意按“章程”规定享受相关权益。学位论文作者签名（手写）：导师签名（手写）：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目姓名学号论文级别博士□硕士□院/系/所专业E_mail备注：□公开□保密（向校学位办申请获批准为“保密”，年月后公开）I 摘要摘要在自然界生态系统中，随处可见各种随机干扰.在确定性传染病模型中加入随机干扰的影响，能够更贴近实际的传染病系统.本文主要讨论了传染病模型受到白噪声的干扰以及带Lévy跳干扰项时系统的渐近行为，具体讨论内容依次如下：第1章主要介绍了近年来传染病模型的研究概况，同时也概括出了本文的主要工作.第2章研究了一类带Lévy跳的随机SIR传染病模型和随机SEIR传染病模型的渐近行为.先证明了系统全局正解的存在唯一性，再讨论了带Lévy跳的随机系统解在确定性模型的平衡点附近的行为，最后得到了随机系统的灭绝性.第3章讨论了一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型.运用Doob's鞅不等式，Burkholder-Davis-Gundy不等式及Borel-Cantelli引理等，分别得到了随机传染病系统中两种疾病的灭绝性与平均持久性的阈值.并用数学软件MATLAB做了相应的数值模拟.第4章总结了本文所研究的内容和主要结论，并对进一步的研究加以展望.关键词：随机传染病系统；带Lévy跳；非线性发生率；双流行病假设；灭绝性；平均持久性II AbstractABSTRACTInnaturalecologicalsystem,variousstochasticperturbationsappear.Epidemicmodelcanmuchclosertotheactualsystembyaddingtherandomdisturbancetothedeterministicmodelofinfectiousdiseases.ThispapermainlydiscussestheasymptoticbehaviorofthesystemofinfectiousdiseasesbyaddingrandomwhitenoiseinterferenceandinterferencewithLévyjumps.Detaileddiscussionarearrangedasfollows:Chapter1mainlyintroducestheresearchofepidemicmodelsinrecentyears,andthemaindiscussionofthispaperisgiven.Chapter2considersthequalitativeanalysisofaclassofthestochasticSIRepidemicmodelandthestochasticSEIRepidemicmodelwithLévyjumps.wefirstlyprovethattheexistenceoftheuniqueglobalpositivesolutionofthesystem.ThenweacquirethequalitativeanalysisofthecorrespondingstochasticmodelswithLévyjumpsaroundtheequilibriumpointsofthedeterministicmodels.Lastlytheextinctionofthestochasticsystemsisoffered.Chapter3discussesanonlinearstochasticSISepidemicmodelwithdoubleepidemichypothesis.WeobtainthethresholdsofextinctionandpermanenceinmeanofthestochasticepidemicmodelrespectivelybytheDoob’smartingaleinequality,Burkholder-Davis-GundyinequalityandBorel-Cantellilemma.AndwepresentaseriesofnumericalsimulationstoillustratethetheoreticalresultsbyusingmathematicalsoftwareMATLAB.Chapter4summarizesthecontentsandmainconclusionsofthispaper,andofferstheprospectsoffurtherresearch.KeyWords:stochasticepidemicmodel;withLévyjumps;nonlinearincidencerate;doubleepidemichypothesis;extinction;permanenceinmeanIII 目录目录第1章引言.......................................................................................................................11.1概述.......................................................................................................................11.2本文主要工作.......................................................................................................3第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为.............42.1模型的建立...........................................................................................................42.2预备知识...............................................................................................................62.3全局正解的存在性...............................................................................................82.4系统解在平衡点附近的渐近行为....................................................................112.5疾病的灭绝性......................................................................................................25第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型.................................283.1模型的建立.........................................................................................................283.2预备知识.............................................................................................................293.3灭绝性与平均持久性........................................................................................313.4数值模拟.............................................................................................................40第4章结论与展望.........................................................................................................434.1结论.....................................................................................................................434.2进一步工作的方向............................................................................................43致谢................................................................................................................................44参考文献............................................................................................................................45攻读学位期间的研究成果..............................................................................................48IV 第1章引言第1章引言1.1概述在生物数学的研究领域里，与人口动力学密切相关的是数学流行病学，其主要研究的是传染病在易感人群中的传播问题.在人类生活的自然环境里，存在着很多流行病，对于传染病来说，感染者与易感者数量之间存在着密切关系.随着生态数学的发展，越来越多的学者关注研究传染病动力学，并且通过建立数学模型的方法逐渐成为了生物学研究控制疾病传染的有效工具.20世纪初期Kermack与McKendrick[1]对传染病模型的理论研究取得成功，并提出了被广泛运用的阈值定理.1976年Hethcote[2]提出了一类经典的SIR模型：S(t)S(t)I(t)S(t),I(t)S(t)I(t)I(t)I(t),RI(t)R(t).其中S,I,R分别为易感者，感染者，康复者.为接触率，为死亡率，为康复率.1995年Beretta与Takeuchi[3]考虑了具有时滞的SIR模型，并得到了稳定性的结论.许多学者也开始对传染病模型深入研究，关于传染病模型的改进研究见[4,5,6,7,8,9,10].通常有两种方法将随机干扰因素引入到传染病模型的建立中，一种是根据Allen[8]中的理论加入Markov链，利用模型的转移概率来研究疾病的持续时间的分布和爆发的概率等，如文献[9]是通过Markov链来描述环境噪声对传染病的影响.另一种方法是对参数作随机干扰并建立随机微分方程，再通过分析随机微分方程解的性质来研究随机传染病模型.2011年Lahrouz等[10],建立了一类随机非线性SIRS传染病模型，并分析了解的全局稳定性和p阶矩指数稳定性.2013年Lahrouz等[11]进一步研究了具有非线性发生率的随机SIRS传染病模型的灭绝性与遍历性.2013年Yang和Mao[12]研究了多组随机SEIR系统的灭绝性和疾病复发等情况，更多的关于随机传染1 第1章引言病模型的研究成果见[13,14,15,16,17,18].2014年，XianghuaZhang，KeWang[17]研究了带跳的随机SEIR模型：**~dS(t)AS(t)S(t)I(t)dtS(t)SdB(t)p(u)S(t)SN(dt,du),11U1**~dE(t)S(t)I(t)()E(t)dtE(t)EdB(t)p(u)E(t)EN(dt,du),22U2~**dI(t)E(t)()I(t)dt3I(t)IdB3(t)Up3(u)I(t)IN(dt,du),~**dR(t)I(t)R(t)dtR(t)RdB(t)p(u)R(t)RN(dt,du).44U42010年，XinzhuMeng[18]建立了一类具有双流行病的随机传染病模型，分析了确定性SIR传染病系统中无病平衡点的稳定性，并得到了随机SIR传染病系统中疾病灭绝的阈值：h1h2dS(t)1S(t)0f1()I1(t)d2S(t)0f2()I2(t)dS(t)dth1h2S(t)f()I(t)ddwS(t)f()I(t)ddw1011t2022th1h1dI1(t)1S(t)0f1()I1(t)d(1)I1(t)dt1S(t)0f1()I1(t)ddwt,h2h2dI1(t)2S(t)0f2()I2(t)d(2)I2(t)dt2S(t)0f2()I2(t)ddwt,dR(t)I(t)I(t)R(t)dt11222015年，XinzhuMeng，ShengnanZhao,TaoFeng[19],得到了带有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型的动力学行为：S(t)I(t)S(t)I(t)1122dS(t)AdS(t)r1I1(t)r2I2(t)dtaI(t)aI(t)1122S(t)I(t)S(t)I(t)1122dB1(t)dB2(t),a1I1(t)a2I2(t)S(t)I(t)S(t)I(t)dI(t)11drI(t)dt11dB(t),11111aI(t)aI(t)1111S(t)I(t)S(t)I(t)2222dI(t)dI(t)dtdB(t).22222aI(t)aI(t)22222 第1章引言1.2本文主要工作本文主要研究了几类随机传染病系统的渐近行为，在系统里加入了白噪声和带Lévy跳干扰项，具体共有4个章节：第1章主要介绍了近年来传染病模型的研究概况，同时也概括出了本文的主要工作.第2章研究了一类带Lévy跳的随机SIR传染病模型和随机SEIR传染病模型的渐近行为.先运用Lyapunov分析方法及Itoˆ公式，证明了系统正解的全局存在唯一性，再讨论了随机系统的解在确定性模型的平衡点附近的行为，最后得到了随机系统的灭绝性.第3章讨论了一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型.运用Doob's鞅不等式，Burkholder-Davis-Gundy不等式及Borel-Cantelli引理等，分别得到了随机传染病系统中两种疾病的灭绝性与平均持久性的阈值.并用MATLAB软件做了相应的数值模拟.第4章总结了本文所研究的内容和主要结论，并对进一步的研究加以展望.3 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2.1模型的建立在自然界中丰富多样的种群有着错综复杂的关系，生态传染病模型[20,21,22,23]和捕食与被捕食模型[24,25,26,27,28,29]被广泛地研究.在传染病模型中发生函数有着重要的作用.传染病模型被很多学者所研究.很多学者一般讨论具有双线性发生率SI，其中S,I分别表示易感者种群与感染者种群，是正常数.有一些学者研究不同的饱和接触率，比如SI(1I)，SI(1S)等，其中是正常数.还有一些学者研究感染者与易感者之间的有效接触为饱和发生率SI(1mSnI)[30,31,32]的传染病模型等.基于这些研究，本章节建立了具有饱和发生率的SIR传染病模型，SEIR传染病模型如下：dS(t)S(t)I(t)S(t),sdt1mS(t)nI(t)dI(t)S(t)I(t)iI(t),（2.1.1）dt1mS(t)nI(t)dR(t)I(t)rRt,dt其相应的SEIR传染病模型：dS(t)S(t)I(t)S(t),sdt1mS(t)nI(t)dE(t)S(t)I(t)eE(t),dt1mS(t)nI(t)dI(t)E(t)iI(t),dtdR(t)I(t)Rt,rdt（2.1.2）其中S(t),E(t),I(t),R(t)分别表示t时刻易感者种群数量，处于疾病潜伏期种群4 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为的数量，感染者种群数量，康复移出种群数量.表示种群数量的补充率，,,,分别表示种群S,E,I与R的自然死亡率，表示因病死亡率，是seir感染系数，m,n都是正常数，表示感染者的恢复率，表示疾病潜伏期变成感染者的转化率.模型（2.1.1）有两个平衡点：无病平衡点E01=，0,0，地方平衡点s****E(S,I,R).这些平衡点的全局行为都依赖于基本再生数1R.模型（2.1.2）的两个平衡点分别是E,0,0,0102(m)()sis*****E(S,E,I,R),它的基本再生数为R.202(m)()()sie在现实世界里，传染病系统不可避免地要受到环境白噪声的影响，所以讨论带有随机干扰的传染病模型更具有实际意义.因此我们将引入随机因素到模型（2.1.1），即B(t)，B(t)，B(t).若生态ss11i211rr33系统遭受到大规模的禽流感或地震，则要通过加入带跳项来讨论随机模型的动力学行为.据我们所知，很少有关于带跳的随机SIR、SEIR传染病模型被研究.本章我们建立了一个带Lévy跳的随机SIR模型：S(t)I(t)dS(t)sS(t)dt+1S(t)dB1(t)1mS(t)nI(t)(z)S(t)Ndt,dz,Z1S(t)I(t)dI(t)iI(t)dt2I(t)dB2(t)（2.1.3）1mS(t)nI(t)2(z)I(t)Ndt,dz,ZdR(t)I(t)rRtdt3R(t)dB3(t)Z3(z)R(t)Ndt,dz,其相对应的带Lévy跳的SEIR模型：5 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为S(t)I(t)dS(t)sS(t)dt+1S(t)dB1(t)1mS(t)nI(t)(z)S(t)Ndt,dz，Z1S(t)I(t)dE(t)eE(t)dt2E(t)dB2(t)1mS(t)nI(t)(z)E(t)Ndt,dz（2.1.4）2ZdI(t)E(t)iI(t)dt3I(t)dB3(t)(z)I(t)Ndt,dz,3ZdR(t)I(t)RtdtR(t)dB(t)(z)R(t)Ndt,dz,r444Z其中B(t)是定义在完备的全概率空间，，P上的相互独立的标准布it02朗运动，0表示B(t)的强度，X(t)是X(t)的左极限，N(dt,dz)是一实ii值poisson计数测度，它的特征测度在0，的可测子集Z上满足(Z)且满足N(dt,dz)N(dt,dz)(dz),(z)1,i1,2,3,4.若(Z)0,则模型ii,（2.1.3）和（2.1.4）就变成仅有白噪声的随机模型.2.2预备知识引理2.2.1[33]假设(A)对于任意的t0，且i,j1,2,,n（,ij）有a(t)0,ibii(t)0,bij(t)0,i(t),i(t,u)是有界函数.bˆii:infbii(t)0,i(t,u)1,UY.tR当假设(A)成立时，等式_~dY(t)Y(t)[a(t)b(t)Y(t)dtσ(t)dW(t)γ(t,u)N(dt,du)],iiiiiiiYiY(0)X(0)，ii有唯一正解Y(t),(t0)形如i(t)iY(t),i1t(s)b(s)dsiiiX(0)0i6 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为其中t12i(t):exp0ai(s)2i(s)Yln(1i(s,u))i(s,u)(du)dstt~(s)dW(s)ln(1(s,u))N(ds,du).0i0Yi引理2.2.2[34]假设M(t),t0是在t0时为零的局部鞅，则有M(t)limlim0a.s.MttttdM,M(s)其中,t0且M,M(t)是M的二次变分.M02(1s)引理2.2.3[35]（强大数定理）设MM是在t0时为零的实值连续局tt0部鞅，则MtlimM,Ma.s.lim0a.s.tttM,Mt以及M,MMttlimsupa.s.lim0a.s.tttt引理2.2.4[35（]Borel-Cantelli引理）如果F(k1,2,)且(),kkk1则k0.i1k1考虑n维Lévy跳扩散过程x(t)满足~dx(t)F(x(t))G(x(t))dw(t)(x(t),u)N(dt,du),t0,（2.2.1）Ynnnnn初值x(0)xR,其中F:RR,:RYR为可测函数，G(x)表示0nm实值函数.引理2.2.5[36]设F(0)(0,u)0Rn,G(0)0为零矩阵，且F,G,满7 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为足Lipschitz条件.记2x(x,u)J(x):ln(du),x0.Yx若对于任意的m1有supJ(x),0xm则对任意的初值x0,且t0都有0Px(t,x0)0且x(t,x0)0.1.其中x(t,x)表示方程（2.2.1）在t0时初值为x的解.002.3全局正解的存在性贯穿本章，假设N(dt,dz)与B(t)是相互独立的.i假定1+(z)0,zZ1,2,3,4,且存在常数c0使得ii2Zln1+i(z)(dz)c.对于任意m0，存在L0并使得m22(H1)ZHi(x,z)Hi(y,z)(dz)Lmxy,i1,2,3,4，其中H1(x,z)1(z)S(t),H2(x,z)2(z)I(t),H3(x,z)3(z)R(t)H(x,z)(z)E(t),且满足xym.44(H)对于(z)1,i1,2,3,4,有ln1(z)K,其中K是正常数.2ii113定理2.3.1若条件(H)与(H)均成立，则带有初值S(0),I(0),R(0)R1233的系统（2.1.3）有唯一正解S(t),I(t),R(t)R，并且此解依概率1停留在R中.证明只需证明=即可（其中为爆破时间）.令m0且足够大，使得ee08 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为1S(0),I(0),R(0)都落在区间m0,内.m0定义停时：1minft0,e:minS(t),I(t),R(t)或maxS(t),I(t),R(t)mm当m时，是单调递增的，令lim显然a.s.下证mmek.a.s.如若不然，则存在一对常数T0和0,1，使得.于是存在整数mm使得10m,mm1.（2.3.1）3定义函数V:RR：SFS,I,RSaalnI1lnIR1lnR,a其中a0.运用Itoˆ公式得dFS,I,RLFS(t),I(t),R(t)dt1S(t)adB1(t)2I(t)1dB2(t)+3R(t)1dB3(t)（2.3.2）(z)S(t)aln(1(z))(z)I(t)Z112ln1(z)(z)R(t)ln(1(z))Ndt,dz.233其中aI(t)aS(t)-S(t)I(t)LFS(t)()I(t)R(t)sirS(t)R(t)1+mS(t)nI(t)1222asira1232(z)2Zln(12(z))a1(z)aln(11(z)3(z)ln13(z)(dz).令kizi(z)ln1i(z)(dz),i1,2,3,a(i)0,则1222LFasira12329 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为a(i)Iak1k2k31222asira1233K1:K.2其中Kmaxak,k,k,将式（2.3.2）两边从0到T积分得1123mmTmTmTmTdFKdt(S(s)a)dB(s)(I(s)1)dB(s)00011022mTmT03(R(s)1)dB3(s)0z1(z)S(t)aln1+1(z)+(z)I(t)ln1+(z)(z)R(t)ln1+(z)Ndt,dz.2233再取期望得EFS(mT),I(mT),R(mT)FS(0),I(0),R(0)KT.（2.3.3）对于mm，根据式（2.3.1）中P()，有T.且对于任意,1mmmm1有S(,),I(,),R(,)等于m或，因此，Vx(T),x(T)不mmm1m2mm1小于m或.m由式（2.3.3）得FS(mT),I(mT),R(mT)m11(maaln)(aaln)(m1lnm)(m1lnm).amma再根据式（2.3.1）与式（2.3.3）得FS(0),I(0),R(0)+KTE1k()FS(mT),I(mT),R(mT)m11(maaln)(aaln)(m1lnm)(m1lnm).amma其中1是的指标函数.令m,则FS(0),I(0),R(0)KT导kk致矛盾，因此有a.s.e3定理2.3.2带有初值S(0),E(0),I(0),R(0)R的系统（2.1.4）满足条件4（H1）与（H2），则系统有唯一正解S(t),E(t),I(t),R(t)R,并且此解依概率14停留在R上.10 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为证明定义函数~SF(S,I,R)(Saln)(E1lnE)(I1lnI)(R1lnR),a运用Itoˆ公式得dFLFdt1S(t)adB1(t)2E(t)1dB2(t)3(I(t)1)dB3(t)4(R(t)1)dB4(t)Z1(z)S(t)aln11(z)2(z)E(t)ln12(z)3(z)I(t)ln13(z)(z)R(t)ln1(z)N(dt,dz).44其中aEISILFSE()IRseirSIRE(1mSnI)aI12222a(a)se1234i1mSnI2rZa1(z)aln11(z)2(z)ln12(z)3(z)ln13(z)4(z)ln14(z)(dz)12222a(a)se1234ir2(ai)IZa1(z)aln11(z)2(z)ln12(z)3(z)ln13(z)4(z)ln14(z)(dz)令i,()ln1()(),1,2,3,akzzdziiZii则有LFa1(a2222)se1234ir2akkkk:K.1234证明完毕.2.4系统解在平衡点附近的渐近行为E****无病平衡点01(,0,0)和地方平衡点E1(S,I,R)是确定性系统s11 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为(2.1.1)的平衡点，若R011，则系统(2.1.1)的无病平衡点是全局稳定的，若R011,**则系统(2.1.1)有唯一一个地方平衡点E1,但E01,E1不是随机系统(2.1.3)的平衡E*****点，同理，无病平衡点02(,0,0,0)和地方平衡点E2(S,E,I,R)是确s定性系统(2.1.2)的平衡点，若R021,则系统(2.1.2)的无病平衡点是全局稳定的，R**若021,则系统(2.1.2)有唯一一个地方平衡点E2,但E02,E2不是随机系统(2.1.4)E*的平衡点.本节我们将研究随机系统(2.1.3)的解在01和E1附近的渐近行为，随E*机系统(2.1.4)的解在02和E2附近的渐近行为.定理2.4.1若条件i与ii成立s22iR01min1,,212sZ21(z)1(z)2(z)(dz),ms22ii22iZ2(z)21(z)2(z)(dz).3则模型（2.1.3）中带初值S(0),I(0),R(0)R的解满足2t12limsuptES(s)I(s)R(s)dst0s22222(z)(z)(z)(dz).K21Z112s其中22Kmin2s2121(z)1(z)2(z)(dz),2(i)Z22(z)2(z)(z)(dz),Z212222()()rs1isR.01mss证明令uS,vI,wR,且uR,v,w0则系统（2.1.3）可转化为s12 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为u(t)v(t)sdu(t)u(t)dt+u(t)dB(t)s11s1mu(t)nv(t)s(z)u(t)Ndt,dz,Z1su(t)v(t)sdv(t)iv(t)dt2v(t)dB2(t)（2.4.1）1mu(t)nv(t)s(z)v(t)Ndt,dz,2Zdw(t)v(t)wtdtw(t)dB(t)(z)w(t)Ndt,dz,r333Z2定义F(u,v,w)(uv)avbw,其中a,b是正常数，并运用Itoˆ公式得22dF21u(t)v(t)su(t)(i)1u(t)sau(t)v(t)22s2v(t)a(i)v(t)1(z)u(t)Z1mu(t)nv(t)s22(z)v(t)(dz)bvrdt21u(t)v(t)su(t)dB(t)2u(t)2v(t)avdB(t)bwdB(t)12233s21(z)u(t)2(z)v(t)a2(z)v(t)2u(t)v(t)Zs(z)u(t)(z)v(t)b(z)(t)N(dt,dz)123s（2.4.2）其中13 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2222LF21(uv)su(i)v1u2va(i)vsauv2s(z)(u(t))(z)v(t)(dz)b(v)12rZs1munvs2222(2s1)u2(i)2v2(si)auv2222uaa()bvbu1ir12sss222(u)(z)(dz)2(z)(dz)2Z1Z1ss222uv(z)(z)(dz)v(z)(dz)Z12Z2s令2()ia,2a()a2(m)()isrsisbR,01msssRmin1,,01ms则有b0,2()a0,aa()b0.siis22再利用不等式ab0.5ab,得222LF2s2121(z)1(z)2(z)(dz)uZ2()2(z)2(z)(z)(dz)2v2iZ21222222br212221(z)1(z)2(z)(dz),Zss将不等式（2.4.2）两边同时从0到t积分且取期望得14 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为t0EFu(t),v(t),w(t)Fu(0),v(0),w(0)ELFu(s),v(s),w(s)ds.0则有t222E02s21Z1(z)(dz)u(s)2(i)2(z)2(z)(z)(dz)2v(s)2bw(s)Z2122r2222212221(z)1(z)2(z)(dz)dsZss2222Fu(0),v(0),w(0)212221(z)1(z)2(z)(dz),Zss令22Kmin2s21Z21(z)1(z)2(z)(dz),2(i)2222r(sm)(i)s(z)2(z)(z)(dz),R.Z212201mss则21t22limsupES(s)I(s)R(s)dstt0s2222212221(z)1(z)2(z)(dz)KKZss证明完毕.注记2.4.1定理2.4.1表明若系统（2.1.3）的解满足一定条件将在系统（2.1.1）的无病平衡点附近扰动，扰动强度受i,i,(i1,2,3)影响.4定理2.4.2令S(t),E(t),I(t),R(t)是给定初值S(0),E(0),I(0),R(0)R模型（2.1.4）的解.若以下条件成立sR02min1,,ms15 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为222(se)22s12Z1(z)(dz)1Z1(z)(dz)0,2()se222(z)(dz)0,e2Z222i23Z3(z)(dz)0,22(z)(dz)0,r4Z4则模型（2.1.4）的解满足21t22(+)22seltimsuptE0s12Z1(z)(dz)1+Z1(z)(dz)2()se21222S(s)e222(z)(dz)E(s)2Zsi222+i233(z)(dz)I(s)4Z2r(i)222r44(z)(dz)R(s)ds4Z22(s+e)2221121(z)(dz).2()Zsse证明令2211212e1F1S,F2I,F3R,F4EI，F5SE.2s222s运用Itoˆ公式得S(t)I(t)122LFS(t)S(t)S(t)1s11mS(t)nI(t)2s122(z)S(t)(dz)1Z22I(t)S(t)ss122S(t)S(t)s11mS(t)nI(t)2s122(z)S(t)(dz),1Z216 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2122122LFE(t)I(t)()I(t)+I(t)(z)I(t)(dz),2i23Z232122122LFR(t)I(t)R(t)+R(t)(z)R(t)(dz),3r24Z24S(t)I(t)+eLF-(+)E(t)+E(t)(++)I(t)4ei1mS(t)nI(t)S(t)I(t)+e(++)I(t)i1mS(t)nI(t)S(t)I(t)s(i++（)e+)I(t)(s)R01s，1mS(t)nI(t)1mS(t)nI(t)mss122LF5S(t)+E(t)sS(t)(e)E(t)1S(t)2s122122222E(t)(z)S(t)(z)E(t)(dz)22Z21222S(t)()E(t)()S(t)E(t)sesess122122122222S(t)E(t)(z)S(t)(z)E(t)(dz)，2122Z212若s则有Rmin1,,02ms22E(t)(i)I(t)1222LF2I(t)33(z)(dz)，2()22Zi22I(t)r21222LF3R(t)R(t)44(z)(dz),222Zr且2122122LF+LFS(t)S(t)(z)S(t)(dz)14s112Z2ss222222s1Z1(z)(dz)S(t)21Z1(z)(dz),ss17 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为（2.4.3）22(se)22e2LF++2(z)(dz)S(t)E(t)5s11（2）Z2es2222(z)(dz)0.5E2(t)222(z)(dz),21Z12Z2s（2.4.4）222r(i)E(t)(i)2r(i)2LF+LFI(t)R(t)223222()44i22I(t)22(z)(dz)r(i)R2(t)22(z)(dz).23Z3424Z4（2.4.5）24结合式（2.4.3），式（2.4.4）及式（2.4.5）并再定义一C正函数F:RR得2()()seiriF:FFFFF.1422352()2sse因此2()()seiriLFLFLFLFLFLF1422352()2sse222(se)22s12Z1(z)(dz)1Z1(z)(dz)2()se222(se)222S(t)21121(z)(dz)0.5E(t)2()Zssse2222(z)(dz)I(t)(）2-2()e2Z24ii222(z)(dz)r(i）22(z)(dz)R2(t).3Z342r4Z4两边取期望值得tEF(t)EF(0)ELF(s)ds0222(se)2(z)(dz)s1Z12()se18 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2t22(z)(dz)S(s)1Z10s22(se)2221121(z)(dz)2()Zsset0.522(z)(dz)2E2(s)dseZ220t(）22(）22(z)(dz)I2(s)dsii3Z3042(）22t2ri2r4Z4(z)(dz)0R(s)ds.4则有21t22()22seltimsuptE0s12Z1(z)(dz)1Z1(z)(dz)2()se2S(s)0.5222(z)(dz)E2(s)e22Zsi222i-233(z)(dz)I(s)4Z2r(i）222r44(z)(dz)R(s)ds4Z22(se)2221121(z)(dz).2()Zsse证明完毕.注记2.4.2定理2.4.2表明，系统（2.1.4）的解在一定条件下将在无病平衡点E02附近扰动，其扰动强度与i,i,(i1,2,3)有关.4定理2.4.3令S(t),I(t),R(t)是给定初值S(0),I(0),R(0)R系统（2.1.3）的解，若以下条件成立22R011,s0.51Z1(z)(dz),19 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2c1220.5(z)(dz),i2Z22r22(z)(dz),r3Z3则模型（2.1.3）的解满足2tlimsupt1ES()sS*t00.522(z)(dz)s1Z122c1i+I()-2rI*2c1220.5(z)(dz)i22Z2r2r*MR()Rd.22(z)(dz)r1Z12r22其中0c12i++-0.52-2(z)(dz),Z222c122=mins0.51Z1(z)(dz),i0.52Z2(z)(dz),2rc22(z)(dz)1r3Z3,222s0.51Z1(z)(dz)*2si2*2siM=22S2I2(z)0.5(z)(dz)2Zs11Z22r11(z)(dz)*2Z*2ln12(z)(dz)I22R.(z)(dz)r33Z证明定义函数2**F10.5S(t)SI(t)I,**I(t)FI(t)IIln,2*I20 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2*F30.5c1R(t)R,其中c1是一正常数.运用Itoˆ公式得**22dF1S(t)SI(t)IsS(t)(i)I(t)0.51S(t)2220.52I(t)0.51(z)S(t)2(z)I(t)(dz)dtZ**(S(t)SI(t)I)(S(t)dB(t)I(t)dB(t))1122**1(z)S(t)2(z)I(t)(S(t)SI(t)I)Z20.5(z)S(t)(z)I(t)N(dt,dz),12*S(t)2*dF（I(t)I）()0.5I(t)dt2i21+mS(t)nI(t)**（I(t)I）2dB2(t)I2(z)ln(12(z))(dz)dtZ(z)I(t)I*ln(1(z))N(dt,dz),Z22*22dF3c1(R(t)R)I(t)rR(t)0.5c13R(t)dt*22+c1(R(t)R)R(t)dB3(t)0.5c13(z)R(t)(dz)dtZ1c（z）R2(t)c(R(t)R*)（z）R(t)N(dt,dz),1313Z2由系统（2.1.2）知，*****SISI**S,,IR.s****ir1mSnI1mSnI22利用不等式0.5(ab)ab得****LF1S(t)SI(t)IsS(t)S(i)I(t)I22222+0.51S(t)+0.52I(t)0.51(z)S(t)2(z)I(t)(dz)Z22**sS(t)S(i)I(t)I(si)21 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为**2222S(t)SI(t)I0.51S(t)+0.52I(t)2222(z)S(t)(dz)(z)I(t)(dz),Z1Z2（2.4.6）******(S(t)S)nI(S(t)S)nS（I(t)I）LF（I(t)I）2**1+mS(t)nI(t)1+mSnI2**0.52II2(z)ln(12(z))(dz)Z**2**(S(t)S（)I(t)I）+0.52II2(z)ln(12(z))(dz)，Z（2.4.7）***22LFc(R(t)R)(I(t)I)(R(t)-R）0.5cR(t)31r13220.5c(z)R(t)(dz)13Z2c1*2c1r*222(I(t)I)(R(t)R)0.5cR(t)1322r220.5c(z)R(t)(dz),13Z（2.4.8）si令F(X(t)):FFF,则123sidF(X(t)):dFdFdF.（2.4.9）123联立式（2.4.6）,式（2.4.7）与式（2.4.8）得*2*22222LF-(S(t)S)(（)I(t)I）0.5S(t)0.5I(t)si122222si2*(z)S(t)(dz)(z)I(t)(dz)IZ1Z2222si*c1*2I2(z)ln(12(z))(dz)（I(t)I）Z2rc1r*22222(R(t)R)0.5cR(t)0.5c(z)R(t)(dz)13132Z222s*s0.511(z)(dz)S(t)22SZ0.5(z)(dz)s1Z122 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为220.5(z)(dz)2s1Z1*2c122S0.5(z)(dz)22i220.5(z)(dz)2Zs11rZ22c1iI(t)2rI*si2I*222c12220.5(z)(dz)i22Z2r22*2c1r3Z3(z)(dz)si(z)ln(1(z))(dz)I22Z2222r*r1+Z1(z)(dz)*2R(t)RR.2222(z)(dz)(z)(dz)r1Z1r1Z1（2.4.10）2c122令i0.52Z2(z)(dz)0,即2r2r220c12i0.522(z)(dz)Z将式（2.4.9）两边从0到t积分且取期望值得t0EFS(t),I(t),R(t)EFS(0),I(0),R(0)ELFS(),I(),R()d02ts*EFS(0),I(0),R(0)E0S()22S0.5(z)(dz)s1Z122c1iI()2rI*2c1220.5(z)(dz)i22Z2r2r*R()RMd,22(z)(dz)r3Z3其中222c122=mins0.51Z1(z)(dz),i0.52Z2(z)(dz),2r23 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为22c1r1Z1(z)(dz).222s0.51Z1(z)(dz)*2si2*2MSI2220.5(z)(dz)2s11Z22si*2r3+Z3(z)(dz)*22(z)ln(12(z))(dz)I22RZ(z)(dz)r33Z再令t得2tlimsupt1ES()sS*t0s0.51212(z)(dz)Z22c1iI()2rI*2c1220.5(z)(dz)i22Z2r2r*MR()Rd.22(z)(dz)r3Z3证明完毕.注记2.4.3定理2.4.3表明，在一定条件下2c1iP*sS*,2rI*,222s0.511(z)(dz)c10.522(z)(dz)Zi222Zrr*R22(z)(dz)r3Z322****随着i,i(i1,2,3)减小，并逐渐靠近E1(S,I,R).我们得到系统（2.1.3）**的解在E1附近扰动.同理系统（2.1.4）的解在地方平衡点E2的渐近行为.24 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为2.5疾病的灭绝性3定理2.5带Lévy跳的随机系统（2.1.3）,对任意R上的初值，有lnI(t)2ltimsup(i)0.52Z2(z)ln(12(z))(dz).tmlimsuplnR(t)0.52ln(1(z))(z)(dz)r333ttZ2(i)0.52Z2(z)ln(12(z))(dz).m当（i）,(ii)均成立时，2(i)()0.5[(z)ln(1(z))](dz)0,i2Z22m2(ii)0.5ln(1(z))(z)(dz)0.r3Z33则I(t),R(t)是灭绝的.a.s.证明运用Itoˆ公式得tS(u)2lnI(t)lnI(0)()0.5i201mS(u)nI(u)2(z)ln(12(z))(dz)du2B2(t)Ztln(1(z))N(dt,dz)0Z2t2lnI(0)+()0.5i20m2(z)ln(12(z))(dz)du2B2(t)M1(t)Zt其中M(t)ln(1(z))N(dt,dz).10Z2则lnI(t)lnI(0)2()0.5i2ttmB(t)M(t)221Z2(z)ln(12(z))(dz)tt25 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为令t,再结合引理2.2.2与引理2.2.3得B(t)M(t)21lim0,lim0,tttt则有lnI(t)2ltimsup(i)0.52Z2(z)ln(12(z))(dz).tm考虑下面带有初值R(0)R(0)的随机方程dR(t)R(t)dtR(t)dB(t)(z)R(t)N(dt,dz)（2.5.1）r333Z与dR(t)R(t)I(t)rR(t)R(t)dt3R(t)R(t)dB3(t)（2.5.2）(z)R(t)R(t)N(dt,dz)3Z根据引理2.2.1,随机方程（2.5.1）与（2.5.2）的解分别形如：2R(t)R(0)exp(r0.53)t3B3(t)t0Zln(13(z))3(z)(dz)dsM2,t2R(t)R(t)exp(r0.53)t3B3(t)0Zln(13(z))t23(z)(dz)dsM2(t)exp(r0.53)t3B3(t)0t0Zln(13(z))3(z)(dz)dsM2(t)I(s)ds,t其中M(t)ln(1(z))N(dt,dz),20Z3运用引理2.2.2得lnR(t)2ltimsup(r0.53)Zln(13(z))3(z)(dz),（2.5.3）t且2R(t)R(t)expr0.53-ln(13(z))3(z)(dz)tZT23B3(t)M2(t)0expr0.53Zln(13(z))26 第2章一类带Lévy跳的随机SIR和随机SEIR传染病模型的渐近行为3(z)(dz)s3B3(s)M2(s)I(s)expr0.52ln(1(z))(z)(dz)tB(t)3Z3333t23msatxB3(s)M2(t)Texpr0.53M2(s)ln(13(z))3(z)(dz)iZm0.52(z)ln(1(z))(dz)sds,2Z22maxB(s)3由B3(t)的连续性，与limst0,得ttlnR(t)R(t)limsup0.52ln(1(z))(z)(dz)ttr3Z332i0.52Z2(z)ln(12(z))(dz)m令0，联立式（2.5.3）得limsuplnR(t)0.52ln(1(z))(z)(dz)ttr3Z332i0.52Z2(z)ln(12(z))(dz).m证明完毕.27 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型3.1模型的建立在传染病传播过程中，感染者给予治疗后可以恢复健康，并且康复的个体又可转变成易感者，这就形成了SIS传染病模型.其中S,I分别表示易感者和感染者.SIS模型也被称为接触过程，是一种广泛地研究在一定的假设[37,38,39,40]下从确定性的到随机的观点展示的经典传染病模型.作者[41,42,43,44]研究了多种SIS传染病模型的平衡点的稳定性，阈值问题等；而文献[45,46]则探究了具有疫苗接种或治疗的随机SIS传染病模型的灭绝性与持久性.在传染病模型中需考虑疾病传染过程中的基本特征.例如文献[47]中双线性转化率的生物意义是更多的个体被感染，更多的易感者将变成感染者，然而由于在一定时间内与感染者接触的易感者的个体数量是有限的，所以在文献[48,49]的模型中的饱和发生率是更合理的；在普通的传染病模型中，仅有一种病毒引起一种传染病，而在现实生活中，可能存在两种或两种以上传染病性疾病平行传播，其中一种传染病是由病毒A引起的，另外一种传染病是由病毒B引起的等，双流行病模型假设在文献[18,19]中被讨论.首先，我们提出一个具有非线性饱和发生率和双流行假设的确定性流行病模型：X(t)Y(t)X(t)Y(t)1122X(t)X(t)Y(t)Y(t)0211221Y(t)1Y(t)1122X(t)Y(t)11Y1(t)2111Y1(t)（3.1.1）1Y(t)11X(t)Y(t)22Y2(t)222Y2(t)1Y(t)22其中Xt表示受疾病影响的易感者数量，Yt,Yt分别表示病毒A和病毒B在12t时刻感染者的总数目，常数表示种群数目的补充率，,表示接触率，12i表示自然死亡率i0,1,2，,表示因病死亡率，,分别表示两种疾病的121228 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型治疗的恢复率.假设环境中的扰动主要表现为饱和发生率的扰动，以致XtYtXtYtXtYt111111Bt,22211Yt1Xt1Yt111111XtYtXtYtXtYt222222Bt.21Yt1Yt1Yt2222222其中BtBt,Bt表示具有强度0i1,2的布朗运动，得到模型3.1.112ii的随机模型如下：X(t)Y(t)X(t)Y(t)dX(t)X(t)1122Y(t)Y(t)dt0211221Y(t)1Y(t)1122X(t)Y(t)X(t)Y(t)11dB(t)22dB(t)Y(t)dB(t)Y(t)dB(t)21131342411Y1(t)12Y2(t)X(t)Y(t)X(t)Y(t)dY(t)11Y(t)dt11dB(t)1211112111Y1(t)11Y1(t)Y(t)dB(t)313X(t)Y(t)X(t)Y(t)dY(t)22Y(t)dt22dB(t)22222112Y2(t)12Y2(t)Y(t)dB(t)424（3.1.2）本章主要研究SIS模型（3.3.1）和随机SIS模型（3.1.2），并得到疾病的灭绝性、平均持久性的的阈值.3.2预备知识贯穿本章，设,F,F,P是一个完备的概率空间.F的一域流Ftt0tt0成为满足通常条件的，如果F是右连续的且F包含所有的零测集.Bt表示tt003定义在全概率空间上的布朗运动.令Rx0,i1,2,3.f是在0,的可积i29 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型1t函数，定义ftfd.t0定义3.2[19]（i）若limY(t)0且limY(t)0，则两种传染病Y(t),Y(t)灭绝；1212tt（ii）若存在两个正常数,，使得liminfY(t)且liminfY(t)，则121122tt两种传染病Y(t),Y(t)具有平均意义下的持久性.123引理3.2.1对任意给定的初值X(0),Y(0),Y(0)R,系统（3.1.1）或（3.1.2）123任意正解X(t),Y(t),Y(t)R,都满足12maxlimsupX(t),limsupY(t),limsupY(t)12ttt0证明根据系统3.1.1,系统3.1.2，有dX(t)Y(t)Y(t)12X(t)Y(t)Y(t)0111222dt取min,,,式3.3.1可转化为001122limXtYtYt,12t0显然有limsupXt,limsupYt,limsupYt.12ttt000又由于Xt0,Yt0,i1,2.证明完毕.i引理3.2.2[51]（Doob’s鞅不等式）令M是Rd上的实值鞅，[a,b]是Rtt0上的有界区间.pd(i)若p1且ML(;R),则对于c0，有tpEMbP:supMt()cpatbc30 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型pd(ii)若p1且ML(;R),则tppppEsupMtEMb.atbp1引理3.2.3[51]（Burkholder-Davis-Gundy不等式）令gL2R;Rdm,定义在t0上tt2x(t)g(s)dB(s)与A(t)g(s)ds00则对于任意的p0,都存在正常数c,C（只依赖于p的值），使得pppppcEA(t)2Esupx(s)CEA(t)2.pp0st特别地ppp322当0p2时，cp,Cp.2p当p2时c1,C4.pppppp12当p2时，c2p2,C.ppp12(p1)3.3灭绝性与平均持久性3引理3.3.1对任意给定初值条件X(0),Y(0),Y(0)R，系统（3.1.2）的解123X(t),Y(t),Y(t)R.有12Milim0,(i1,2,3,4,5,6)tt其中Mti1,2,3,4,5,6是带初值M00的局部连续鞅,且iitX()tX()12M(t)dB(),M(t)dB(),1212201Y()01Y()112231 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型tt2M(t)X()dB()0,i3,4.M(t)1YdB,i0ii503113tM(t)1YdB.642240tX()1证明先令ZdB()且2.12101Y()11通过引理3.2.3得，t2X22XEsupZCE1dCt2Esup1MCt2,102220t11Y10t11Y11其中M.0令是任意一个正常数.则21EZ1n1MCn122MC:supZ1tn21.ntn111nn2n2运用引理3.2.2及Borel-Cantelli引理，对于几乎所有,得1supZtn2（3.3.1）1ntn1且对于无限多个n均成立.存在一正参量n，当nn时，对于几乎所有，式（3.3.1）都成立.00当nn且ntn1时，对于几乎所有，都有01lnnlnZ1t21lntlnn2因此lnZt112limsup.tlnt令0得32 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型lnZ1t11limsup.tlnt211对于任意小的正常数,存在一常数和一系列参量,使得2111成立，并且对于t,,都有lnZ1tlnt.2因此11Ztt21limsuplimsup0.ttttZtZt11注意liminf0,则有lim0,tttttX1dB02iZ1t11Y1即limlim0.ttttMi同理可得lim0,(i2,3,4,5,6)tt证明完毕.i定理3.3.1若条件,i1,2成立，则系统（3.1.2）的两种i2uriii传染病均灭绝几乎是必然的.3证明令Xt,Yt,Yt是具有初值条件X0,Y0,Y0R的系统1212（3.1.2）的解.将系统（3.1.2）的第二式，第三式运用Itoˆ公式得221Xt1Xt121XtdlnYtrdtdBt1211123211Yt21Y2t21Yt111111dBt,3333 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型22XtXt1XtdlnYt2r22dt2dBt11Yt22221Xt2241Yt3222222dBt,44（3.3.2）再将式（3.3.2）两边从0到t积分得22tX21lnYt11dt1t2t10221112321Y221111tX1dBBtlnY0（3.3.3）2133101Y1121ttMtlnY011121121222tX12222lnYtdttt2201Y222222242222tX2dBBtlnY0（3.3.4）344201Y2222ttMtlnY022222222将式（3.3.3）与（3.3.4）的两边同除以t得lnYtMtlnY01111t11122tt1lnYtMtlnY02222（3.3.5）t22222tt2运用引理3.3.1，知Mtilim0,i1,2.tti若,i1,2，在式(3.3.5)两端取上确界极限，得i2uriii2lnYtiilimsup0,ttiii22i34 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型这意味着limYt0,i1,2.证明完毕.iti注记3.3.1定理3.3.1表明当,i1,2成立时，系统3.1.2的两i2iii种传染性疾病几乎是灭绝的，也就是说，足够大的白噪声随机扰动可导致两种传染病灭绝.因此在本章节后面的研究讨论中，通常总是假设白噪声随机扰动没有足够的大.令222*113R,122()01110111111222*224R.2220222022222233定理3.3.2对任意给定的初值X(0),Y1(0),Y2(0)R,X(t),Y1(t),Y2(t)R是系统（3.1.2）的正解.22（i）若R1,R1,,且0.5()则疾病Y122311122222灭绝，且疾病Y具有平均意义下的持久性，Y满足110111liminfY(t)R111t1111（ii）若R1,R1且，则疾病Y灭绝，且疾病Y具有121122111平均意义下的持久性，Y满足20222liminfY(t)R212t222202222（iii）若R1,R1且0.5()，则两种传染病Y,Y均具有平均1231111235 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型意义下的持久性，并且Y,Y满足1212liminfY1(t)Y2(t)iiiRi1tmaxi1其中1212121212（）max222222220证明（i）根据定理3.3.1可知,2,22222则有limYt0.2t由有足够小的，使得对于足够大的t，都有0Yt,2且222122131.2201110111111将系统（3.1.2）的两端从0到t积分且同除以t，得tXtYtYt0111222XtX0YtY0YtY01122tttXtYt011122又可得t2211XtYt.1000运用Itoˆ公式得12dlnY1t1Y1t236 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型1221221Xt11113111I1t1Xt222X2t112223dt1XtdB1t311Y1tdB3t2211Y1t221212211Xt111313111Y1t2dt22202XtdBt1YtdBt.113113（3.3.6）再将式（3.3.6）两端从0到t积分且同除以t得22lnYtlnY01YtY011111t2t22121221XtYt11112312311112022MtMt1t3412221111132tt2000MtMt111Yt341tt02221221311112201110111111tMtMt111Yt1341tt00（3.3.7）不等式（3.3.7）可转化为2221Yt12213111112201110111111122YtY0tMtMtlnYtlnY0111134112tttt037 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型2221122131112120111011111122tMtMtlnY0YtY01341111,0Yt1;1ttt2t022211221311112201110111111tMtMtlnYtlnY0Y2tY2013411111,1Y1t,ttt2t0（3.3.8）111其中.0根据引理3.2.1与引理3.3.1可得2Yt1lim0.ttYt1又由当Yt1且limt0,则lim0.1ttt将式（3.3.8）的两端取下确界及极限得22211112213liminfYt10.12t201110111111令0得2220111113liminfYt112t2111011101111110111R10.1111同理可证得ii.iii注意t1122XtYtYt.（3.3.9）12000038 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型12定义VtlnYtYtYtYt,易知Vt得121122222LVtXtYt12i1iii11111222222XtXtXtYt112222222221Yt21Yt11221112222213111Y1t34dtiXtdBit222i121YtdBt1YtdBtXt311342241222222111222Ytdtiii222222234i122220022XtdBt1YtdBt1YtdBt.ii31134224i1（3.3.10）再将式（3.3.10）两端从0到t积分且同除以t得VtV02XtYt12iii22222tti1222i1212M3tM5tM4tM6t234i12022tttt2222i121212iii2340i1i120221211Yt1222Yt12222200tMtMtMtMt123546.tttt02222i121212iii2340i1i12022MtMtMtMtYtYt3546max12tttt（3.3.11）不等式（3.3.11）又可转化为39 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型1222211i22YtYt1212iii234i1i1222max00VtV0MtMtMtMt123546t.tttttt0（3.3.12）再将式（3.3.12）取下确界极限得12liminfYtYtR10.12iiiiti1max证明完毕.注3.3.2定理3.3.1与定理3.3.2表明：若白噪声扰动足够小的使得R1，则两i种疾病均流行.相反地，若白噪声扰动足够大，则两种传染病将灭绝.这意味着随机扰动可能会导致传染病灭绝.3.4数值模拟运用EulerMaruyama[52（]EM）方法，将进一步通过数值模拟对随机系统（3.1.2）疾病的灭绝性与平均持久性加以佐证.参数取值如下：5,0.09,0.09,0.09,0.6,0.7,0.2,0.1,0.1，012121210.2,0.04,0.036.212取步长t0.01，初值为X(0)100,Y(0)20,Y(0)1512当0.035，0.03，0.01，0.01时，123410.00320,20.00440122()2()111222根据定理3.3.1知，Y,Y两种传染病均灭绝，数值模拟如图3.4.1.12**当0.01,0.03,0.01,1.5时，R2.81291,R0.88381.123412根据定理3.3.2知，Y传染病形成地方病，Y传染病灭绝，数值模拟如图3.4.2.12**当0.035,0.01,1.7,0.01时，R0.98381,R2.02021.123412根据定理3.3.2知，Y传染病灭绝，Y传染病形成地方病，数值模拟如图3.4.3.12**当0.01,0.01,0.01,0.01时，R2.81291,R2.02021.123412根据定理3.3.2知，Y,Y两种传染病均形成地方病，数值模拟如图3.4.4.1240 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型图3.4.1当噪声强度为(,,,)(0.035,0.03,0.01,0.01)时,系统的解1234**图3.4.2当R1,R1，噪声强度为(,,,)(0.01,0.03,0.01,1.5)时系统的解12123441 第3章一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型**图3.4.3当R1,R1，噪声强度(,,,)(0.035,0.01,1.7,0.01)时系统的解121234**图3.4.4当R1,R1，噪声强度(,,,)(0.01，0.01,0.01,0.01)时系统的解12123442 第4章结论与展望第4章结论与展望4.1结论本文研究了几类随机传染病模型，考虑了白噪声以及带Lévy跳干扰项对传染病系统的影响.主要内容共有两大部分：第一部分讨论了一类带Lévy跳的随机SIR传染病模型和SEIR传染病模型；第二部分分析了一类带有两种传染病的非线性随机SIS传染病系统.第2章研究了带Lévy跳随机传染病模型，首先证明系统正解的全局存在唯一性，然后分析了随机系统解在确定性模型的无病平衡点和地方平衡点附近的渐近行为，最后得到了疾病的灭绝性.第3章讨论了一类具有两种传染病的非线性随机SIS传染病模型.运用了Doob's鞅不等式，Burkholder-Davis-Gundy不等式及Borel-Cantelli引理等，分别得到了随机传染病系统中两种疾病的灭绝性与平均持久性的阈值.并运用MATLAB数学软件做了相应的数值模拟.4.2进一步工作的方向本文的研究虽然取得了初步的成功，但尚有许多有待进一步深入研究的工作，下面作简要表述如下：为更进一步地贴近实际的传染病生态系统，通过将时滞项、脉冲项、Markov转换等项加入到随机传染病模型中，将传染病引入到捕食与被捕食模型中建立三种群传染病模型或多种群传染病模型，有效生动地刻画普遍存在于生态系统中的传染病对种群系统的动力学行为的影响.43 致谢致谢本论文的完成离不开导师熊佐亮教授的悉心指导，在论文完成之际，首先要感谢我的导师熊佐亮教授,感谢他在我的三年硕士研究生阶段不断地给予我以监督、鼓励与指导.熊佐亮教授严谨治学的风范，本着一切为了学生全面发展的教育理念，深深地感染着我.在此特向熊老师致以最衷心的感谢！同时感谢朱传喜教授、曾广兴教授、龚循华教授、汪祥教授、董秋仙副教授、徐兵教授、徐义红教授、肖水明老师、陈玉娟老师、刘春连老师、张文咏老师以及理学院其他领导老师，感谢他们在三年学业里对我的帮助与指引，使我能够顺利完成学业.感谢我的师姐韦秋妤、范彩凤、以及师弟王常健、何人盛，师妹曾小彩，是他们的陪伴，令我的三年学习生活充满活力；也感谢2013级数学系所有小伙伴们，感谢他们在同行的路上给予我以欢笑.最后我要感谢我的父亲母亲以及其他亲人，感谢他们在我求学的路上不断地给予我前行的力量，是他们的鼓励与支持使我能全身心地投入到硕士阶段的学习中来，并最终做到毕业论文的完成.聂丹丹2016年5月于南昌大学理学院数学系44 参考文献参考文献[1]Kermack,W.O.,McKendrick,A.G.,AContributionstothemathematicaltheoryofepidemics[J].Proc.R.Soc.Lond.A.,1927,115:700-721.[2]Hetheote,H.W.,Qualitativeanalysesofcommunicablediseasemodels[J].Math.Biosci.19-76,28:335-356.[3]Beretta,E.,Takeuchi,Y.,GlobalstabilityofanSIRepidemicmodelwithtimedelays[J].J.Math.Biol.,1995,33:250-260.[4]T.Kuniya,H.Inaba,Endemicthresholdresultsforanage-structuredSISepidemicmodelwithperiodicparameters[J].J.Math.Anal.Appl.2013402(2):477-492.[5]周艳丽,张卫国,原三领.一类随机SIRS传染病模型的持久性和灭绝性[J].生物数学学报,2015,01:79-92.[6]雷桥,杨志春.具有随机效应的SIRI传染病模型的定性分析[J].重庆师范大学学报(自然科学版),2016,01:81-85.[7]林青腾,魏凤英.具有饱和发病率随机SIQS传染病模型的稳定性[J].山东大学学报(理学版),2016,01:128-134.[8]Allen,E.J.,StochasticdifferentialequationsandpersistencetimeforinteractingPopulatio-ns[J].DynamicsofContinuous,Discrete,andImpulsiveSystems,1999,5:271-281.[9]AlisonGray,DavidGreenhalgh,XuerongMao,JiafengPan,TheSISepidemicmodelwithMarkovianswitching[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,394:496-516[10]Lahrouz,A.,Omari,L.,Kioua.ch,D.,GlobalanalysisofadeterministicandstochasticnonlinearSIRSepidemicmodel[J].NonlinearAnalysis.ModellingandControl,2011,16:59-76.[11]Lahrouz,A.,Omari,L.,Extinctionandstationarydistributionofa.stochasticSIRSepidemicmodelnon-linearincidence[J].StatisticsandProbabilityLetters,2013,83:960-968.[12]Yang,Q.S.,Mao,X.R.,Extinctionandrecurrenceofmufti-groupSEIRepidemicmodelswithstochasticperturbations[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications,2013,14:1434-1456.[13]YongliCai,YunKang,MalayBanerjee,WeimingWang,AstochasticSIRSepidemicmodelwithinfectiousforceunderinterventionstrategies[J].J.DifferentialEquations2015,259:7463-7502.[14]A.Economou,A.Gómez-Corral,M.López-García,AstochasticSISepidemicmodelwithheterogeneouscontacts[J].PhysicaA,2015,421:78-97.[15]FrankG.Ball,EdwardS.Knock,PhilipD.O’Neill,Stochasticepidemicmodelsfeaturingcontacttracingwithdelays[J].MathematicalBiosciences,2015,266:23-35.45 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