全称量词与存在量词

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1、全称量词与存在量词1.4思考：什么是量词？①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船表示人、事物或动作的单位的词称为量词1.4.1全称量词全称量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数是是不是不是(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量x进行限定;关系:(3)(4)全称命题(4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对变量x进行限定.一.全称命题1.全称量词及表示:短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任

2、给”、“所有的”在逻辑中通常叫全称量词。定义：表示：用符号“”表示2.全称命题及表示:定义：含有全称量词的命题，叫全称命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为:读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。(2)所有的正方形都是矩形都是全称命题。例如:命题(1)对任意的nZ,2n+1是奇数;(1)实数都能写成小数形式;(2)凸多边形的外角和等于2例1.用量词“”表达下列命题:（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数xR,x能写成小数形式x{xx是凸n边形},x的外角和等于2xR,x·(-1)=-x(4)对任意实数x,都有x3>x

3、2xR,x3>x2(5)对任意角,都有sin2+cos2=1{角},sin2+cos2=1例2.设集合S={四边形},P(x):内角和为3600.试用不同表述写出全称命题“”XS,P(x)解:所有的四边形的内角和为360o一切四边形的内角和为360o每一个四边形的内角和为360o任一个四边形的内角和为360o凡是四边形,它的内角和为360o例3.判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数;(2)xR,x2+1≥1(3)对每一个无理数x,x2也是无理数解:(1)∵2是素数,但不是奇数.∴全称命题(1)是假命题(2)∵xR,x2≥0,从而x2+1≥1∴全称命题(

4、2)是真命题(3)∵是无理数,但()2=2是有理数∴全称命题(3)是假命题如何判断全称命题的真假？方法:若判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得P(x)不成立即可。1.4.2存在量词存在量词下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个x∈R,使2x+1=3;(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断

5、真假的语句;不是不是是是(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.关系:(3)(4)特称命题短语“存在一个”、“至少有一个”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x).一.特称命题1.存在量词及表示:定义:用符号“∃”表示,含有存在量词的命题,叫做特称命题.表示：2.特称命题及表示：定义:表示：读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.例如:命题（1）有的平行四边形是菱形;（2）有一个素数不是奇数都是特称命

6、题.例4设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R,q(x)”解:存在实数x,使x2=x成立至少有一个x∈R,使x2=x成立对有些实数x,使x2=x成立有一个x∈R,使x2=x成立对某个x∈R,使x2=x成立例5下列语句是不是全称或特称命题(1)有一个实数a,a不能取对数(2)所有不等式的解集A,都是A⊆R(3)三角函数都是周期函数吗?(4)有的向量方向不定特称命题全称命题不是命题特称命题例6判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数.(1)由于∀x

7、∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.解:(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,特称命题(1)是假命题.所以,特称命题(2)是假命题.例3判断下列特称命题的真假:(1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题(3)是真命题.要判断特称命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如何判断特称命题

8、的真假？方法:如果在集合M中,使p(x