复方阵jordan分解定理的一个证明

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第20卷第l期昆明工学院学报Vo1．20No．I】99s~2目一JOURNALOFKUNMTNGTNSTITUTEOFTECHNOLOGYFeb．I995方阵Jordan分解定理的一个证明壁韭0'(昆明工学院基础部，昆明650093)摘要这篇文章给出1Jordan定理的一个证明方法．利用线性代数的基础知识关键词兰堡的墼立查查些丝主堡堑窒囹中图分类号Ol5善定理，线性代数的一个重要定理-Jordan定理，其证明难度大，需具备一定深度的代数知识，这里提供的证明方法，仅利用极少的基础知识．引理1设A∈C，若r()=r(A。)

2、=r，则r(A”)=r．证明：因r()：r(A⋯)，所以A的列向量可由A⋯的列向量线性表示：=A⋯B(B∈C⋯)，由此容易证得⋯的秩为r．引理2设A∈C⋯，记齐次线性方程组A=O(XEC⋯)，的解空间为S。若．r(A)=月一J一·一，J，⋯，全为正数(11,2，⋯，m)，则1解空间有基{13⋯x”，’，’，⋯，其中前，+⋯+-ei个向量是的基(l，2，⋯，m—1)，并且⋯，∈线性无一关，这里=l、2，⋯，f一1；=2,3，⋯，m。2≤≤⋯≤】。一13。记式(I)中的，⋯，)=(f=1,2，⋯，)，并将式(1)改写成1，2，⋯，，(2)则存在。，⋯，。∈】，并记一。一

3、Y(1，⋯，，)．．．。(当J=时．令y．=AX)，以Y替换式(2)中的一．，使得一一一．1，⋯，Y(3)一1，，一2，成为的基．4。S有基收稿日期：994-99—0维普资讯http://www.cqvip.com·92·昆明工学院学报995妊X2，⋯，X，(4)其中】，．“，X是s的基(1,2，⋯，】)，AX，的列向量在中(户m一1，⋯，2)．证明S有基(I)是显然的．令k1Ax【j】+⋯十k，A=日，(，一l，2，⋯，i—1)其中数．，⋯，k待定，得，(kl十⋯十k，)0，klX”十⋯+。t?f．x”+⋯十f。．：十⋯+^．十⋯+^，：?由有基(1)式即可得到(

4、I1j⋯，S，f“线性无关，并且显然它们在⋯中．证2因dims．=．，由I。得2≤．设≤≤⋯≤I，今证明≤一．，倘～1若不然，>r令的向量一一．fm⋯，x”(5)一的线性组合为零，再左乘一，容易证明式(5)线性无关，这与dims=+⋯～+矛盾，所以≤一．一．．证3当<时，因-，⋯，X是s的基，又式(5)线性无关，所以必存一1一～l一在一个向量，将它们放入(s)中使．，⋯，XY成为S的基．为证明一～2，一(3)是s的基，令．=rK1+⋯十K2+y1K+．=rK=0，1一2一1其中”，K．是由待定常数组成的列矩阵，然后上式两端左乘一。即可得到结论。证4根据3。，再依次替

5、换(3)中的，，，⋯，邵得．定理1设n阶复方阵A的特征值的重数为指标为，则方程组(一aoE)X=OCXeC)的解空间s的维数为．证明为书写方便起见，设=2．据引理1可设r((一3．o))=n—一：，、!全为正数(不妨设：<．)．由引理2，S有基”⋯，，，，，一(一2oE)，⋯，(一3．oE)；，⋯，：?(6)其中前．+Nt~s的基．取yI，⋯y⋯eC’，使它们与(6)组成c。的一个基，．井记P=(，⋯，『¨一，；Ca一3．oE)1]1：⋯；(一3．oE)，：；y．，⋯，⋯．，)．容易算得维普资讯http://www.cqvip.com第1期孙默非：复方阵Jordan

6、分解定理的一十证明‘93‘p-IAp~[Jlo1【0B2J妇g：竺：：：)，‘。：：：21—个2个I2，(i，f)是特征值为i。的f阶J0r血n子块(1，2)一于是l一^I=(I一I)。“日一iI，所以+≤．今证明+一k，若不然，B有特征值i。．任取它的一个特征向量=(c．c2，．“，c⋯)，由，一。=[：。口1(口2一2oE一)+。Bt(，B2一i。￡r一1得(一iE)=0(其解空间设为s)有解=P(0，⋯，0，I’⋯⋯)=C11+⋯+C+-j1，2I—j⋯l—显然它与解空问s，的基(6)线性无关，这表明s，的维数大于+：，同特征值i。的指标为2矛盾，J~dimS

7、2=+2k一证毕定理2设A∈c⋯．若A的全部不相同的特征值为i，⋯．．。．其重数依次为”其指标依次为l’．”，m．并且按引理2的4。取(一iE)。=e的解空间，，S的基=(，啦，⋯，)，(f=l，2，⋯r)则1，，⋯，(7)是c。的基．证明据定理1．只需证明(7)的列向量线性无关．因．的列向量是线性无关的，设“的列向量线性无关，令，B】+⋯+B+B皇0，(8)t一1一】。，其中B．，⋯，B．是由特定常数组成的列矩阵．上式两端左乘一i，￡)⋯(一i￡)，注意到这些因子满足交换律，得(一．E)’⋯(一卜E)卜B，=0，．．(一．E)⋯(一，￡)卜(．B十⋯十B)=0