高考数学复习点拨 巧构三角函数模型解题

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1、巧构三角函数模型解题三角函数是基本的初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其它领域具有重要作用，在命题时以波浪、潮汐等具有周期性规律的现象都是命题的背景，正在成为近年来高考命题的新热点，下面通过两例对巧构三角模型解题作简单的探究：一、巧构三角函数的周期性解决一些周期变化现象，解决实际问题例1、已知某海摈浴场的海浪高度（米）是时间的函数，记作，下表是某日各时的浪高数据：T时03691215182124Y米1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，的曲线可近似地看成是函数（1）根据以

2、上数据，求函数的最小正周期T、振幅A及函数表达式。（2）根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上0时之间，有多少时间可供冲浪者活动？分析：由表中数据可画出的函数图象，容易求出T、A及的值，这样就求出了函数解析式，T（小时）1296301510.52421181.5Y(米)（2）实际上就是求使得的t取值范围，根据图象便能解决。解析：（1）由表中数据作出的函数图象（如右图）由图可知：A=，（2）令得解得，又，∴令k取1得：所以一天内的上午8：00时至晚上0时之间

3、，有6个小时可供冲浪者活动。点评：把数据条件转化为图形语言，能直观地描述出物体变化的本质规律，从而实现了从实际问题到数学模型的转化。二、巧进角作自变量构造三角函数模型，利用解决实际应用问题例2、如图，在直径为1的圆O中，作一关于心对称、邻边互相垂直的十字形，其中（1）将十字形的面积表示为的函数；（2）当为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？分析：本题需先根据图形建立函数关系，将函数解析式化简后，可利用的性质求解最大值，也可利用导数求解最大值。解析：（1）设十字形的面积为S，由图形可知，由于，所以∴（2）解法一：（

4、其中）∴当=1即时，S最大，所以当时，面积S最大，最大值为解法二：∵∴S′令S′=0即=0得所以当时，面积S最大，最大值为点评：本题中求函数最值，一是利用三角函数的性质求解，二是利用导数求解，这是解决三角函数最值问题的两种基本方法。