高考数学复习点拨 函数思想在解题中的应用

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1、函数思想在解题中的应用函数是中学数学中最重要的概念之一，内容十分丰富，构成了一个完整的知识体系．在数学学习中，我们应重视培养以函数为桥梁，根据实际问题建立函数观念，灵活应用函数思想与方法去分析和解决问题的能力．函数思想方法，就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、处理问题．利用函数处理问题，须深刻理解，熟练掌握各种函数的具体特征及函数的单调性、最值、图象

2、变换等，这是利用函数思想解题的必备基础．同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，挖掘隐含的特征，从而恰当构造函数和准确利用函数性质，使问题得以解决．例１　已知关于的方程的两实根一个小于１，另一个大于１，求实数的取值范围．Ｏ１Ｏ１分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令＝，则由根的分布，函数的图象只能如图1，图2所示.对应的条件分别是图1图2解：由以上分析可知，令＝，为使方程＝０的两实根一个小于１，另一个大于１，只需　即　　解得.评注：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问

3、题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图象的特征构造解法，使问题得到巧妙解决．例2　设，且它们的绝对值都不大于１，求证：．　　分析：构造函数，是关于的一次函数，由于［－1，1］，因此，只要证明且，就能证明.证明：设，是关于的一次函数.∵，∴，.∴在［－1，1］上恒为负.∴．评注：本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数，从而根据一次函数的图象性质，使问题得以解决．例3　对任意的［－１，１］，函数＝的值总大于０，试求的取值范围．分析：观察所给的函数式，如果看作关于的二次函数式

4、，则感到无从下手，如果重新调整函数关系式，写成关于的一次函数，利用一次函数的单调性，则问题便迎刃而解．解：视为关于的函数，令为关于的一次函数，故须使在［－１，１］上恒大于０，则　　解得＜１或＞３．评注：一般地，对于一次函数＝，在范围内，＞０恒成立等价于