数学：解析几何设而不求的若干途径

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1、解析几何设而不求的若干途径设而不求是解析几何的重要解题策略，在许多题目的解答中，常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问：什么情况下，可以通过设而不求解答问题呢？本文介绍设而不求的若干实施途径，供大家参考。一、利用直线方程的两点式求直线方程时，利用直线方程的定义，实现设而不求例1过圆外一点P（a，b）引圆的两条切线，求经过两个切点的直线方程。解：设两个切点分别为P1（），P2（），则切线方程为：，。可见P1（），P2（）都满足方程，由直线方程的定义得：，即为经过两个切点的直线方程。二、解答有关点在圆锥曲线上的问题时，借助圆锥曲线定义，整体考虑，实现设而不求例2

2、已知椭圆为焦点，点P为椭圆上一点，，求。解析：由题意知点P为椭圆上一点，根据椭圆的定义。再注意到求的关键是求出这一整体，则可采用如下设而不求的解法：设由椭圆定义得①由余弦定理得②①2－②得，三、解答与圆锥曲线的弦的中点、斜率有关的问题时，通过代点相减，实现设而不求例3求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程。解析：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②①－②得：当时，由题意知，即③③式与联立消去k，得④当时，k不存在，此时，，也满足④。故弦PQ的中点M的轨迹方程为：。注：通过将P、Q的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相

3、减。这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求的关键。四、对多元问题，围绕解题目标，通过逐步消元，实现设而不求例4已知点P（3，4）为圆C：内一点，圆周上有两动点A、B，当∠APB=90°时，以AP、BP为邻边，作矩形APBQ，求顶点Q的轨迹方程。解析：设A（），B（），Q（x，y）由题意得：①②③④，即。⑤将①②⑤代入上式并整理得，即为点Q的轨迹方程。注：本题的目标是找到x、y所满足的方程，而逐步消去无关的则是解答问题的关键。