整体最小二乘直线拟合程序设计与实现

《整体最小二乘直线拟合程序设计与实现》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、整体最小二乘直线拟合程序设计与实现摘要：直线拟合广泛应用于各个领域，目前存在的直线拟合方法有好多种，这些方法大多是以最小二乘和整体最小二乘作为基础。本文主要介绍了几种常见的直线拟合方法并对其优劣势进行了分析，并通过Matlab程序设计实现整体最小二乘直线拟合，与普通最小二乘直线拟合进行比较。从多个角度比较分析两种直线拟合的拟合精度。并对一组三维激光扫描点云数据进行空间直线拟合，对整体最小二乘直线拟合进行实际应用。关键词：直线拟合、最小二乘、整体最小二乘、三维激光点云1绪论1.1研究背景和意义直线拟合可以描述为：对于给定的个测量点，寻找一条最佳的拟合直线，使

2、其尽可能通过或靠近这些点。拟合的实质是求直线参数斜率和截距的最佳估计。直线拟合问题在诸多试验和工程实际问题中都会遇到。最小二乘直线拟合简单方便，但它仅考虑自变量中的误差，从而导致自变量、因变量选择不同时，拟合直线结果不同。相比之下整体最小二乘法直线拟合能同时考虑自变量与因变量中的误差，拟合精度高于普通最小二乘直线拟合。在许多实际的工程应用中，x、y的选取是相对的，拟合结果好坏的标准应该是依据与实际工程整体接近程度，而不是仅仅考虑在一个方向最为接近。目前，随着各项工程精度要求的提高，各种直线拟合方法层出不穷。随着时代的发展，直线拟合的方法越来越多，拟合的精度

3、也越来越高。但这些直线拟合的基础都离不开最小二乘直线拟合和整体最小二乘直线拟合。因此通过Matlab程序设计实现整体最小二乘直线拟合并通过带入实际数据与最小二乘直线拟合进行比较在各种实际工程中都有着十分重要的意义。1.2国内外研究现状最小二乘法经历了百余年的发展考验，已经成为许多领域数据处理广泛应用的方法。最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。描述了最小二乘法的思想、具体做法极其有点。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明。勒让德是在先驱者解线性方程组的基础上,以整体的思想方法创立了最小二乘法;

4、高斯由寻找随机误差函数为突破,以独特的概率思想导出了正态分布,详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。随着人们对精度要求的提高，1980年Golub和VanLoan提出总体最小二乘问题，即考虑A和L同时存在误差时，矩阵方程的近似求解方法。整体最小二乘作为当时一种新的数据处理方法逐步成为了一个研究热点。Golub和Vanloan给出满秩TLS问题的解的分析，VanHuffel和Vandewalle推广了Golub和Vanloan定义的TLS问题。目前总体最小二乘(TLs)和最小二乘(Ls)的方法已经得到了广泛的应用，用于参数估计、图像处理等各个领域。2003年12

5、月，曾接贤、张桂梅、鲁宇明于南昌航空工业学院学报发表了霍夫变换与最小二乘法相结合的直线拟合。解决了普通最小二乘拟合直线易受干扰点或噪声的影响和数据点分布在多条直线附近而无法拟合的两个问题。2010年2月，丁克良、沈云中、欧吉坤在辽宁工程技术大学学报发表‘整体最小二乘法直线拟合’。针对在直线拟合中，因变量选取不同拟合的结果有差异现象，提出采用整体最小二乘法进行直线拟合。2012年官云兰，周世健，张立亭，鲁铁定在其基础上提出了稳健整体最小二乘直线拟合。该方法可剔除数据中的粗差或异常值，使精度更高，结果更为可靠。1.3课题研究内容及思路通过以上国内外研究现状分析

6、表明，人们对直线拟合方法的研究已经有了一定的高度。作为应用最为广泛的最小二乘直线拟合和在其基础上研究出的整体最小二乘直线拟合，乃是各种直线拟合方法的基础。本文介绍了多种直线拟合方法并着重对整体最小二乘直线拟合的拟合方法进行了分析，并通过Matlab程序设计实现最小二乘直线拟合、整体最小二乘直线拟合以及两种直线拟合方法的比较。并对一组三维激光点云数据进行空间直线拟合，对整体最小二乘直线拟合技术进行实际应用。2常用的直线拟合方法2.1最小二乘法直线拟合直线方程可以表示为（1）式中，为测点坐标，a为直线的斜率，b为y轴的截距，a、b为待估参数，、为它们的近似值。

7、令以y作为因变量，以x作为自变量，误差方程为（2）误差方程矩阵表达式为（3）其中根据最小二乘准则即（4）其最小二乘解为（5）因变量残差为（6）单位权中误差为（7）然而在实际工程中也有采用横坐标x为因变量，纵坐标y为自变量进行拟合，这时直线方程可表示为（8）2.2霍夫变换与最小二乘法相结合的直线拟合2.2.1霍夫变换原理1962年,P.V.C.Hough根据数学对偶性原理提出了检测图像直线的方法,此后,该方法被不断地研究和发展,主要应用于模式识别领域中对二值图像进行直线检测。在标准参数化方式下,平面直角坐标系中的直线表达为（9）其中,为相对于原点的距离,为与

8、轴的夹角。根据公式（9）,直线上不同的点在参数空间中被变换为一族相