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时间:2019-04-15
《浙江2020版高考数学第八章立体几何与空间向量8.7立体几何的综合问题讲义(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.7 立体几何的综合问题最新考纲考情考向分析1.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义,理解直线与平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念.2.了解直线的方向向量与平面的法向量.3.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法.利用线面关系的判定、性质定理证明空间的平行和垂直;利用空间角的概念或借助空间向量计算空间角(以线面角为主),题型为解答题,考查学生的空间想象能力和计算能力.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向
2、量,则求法向量的方程组为2.空间中平行、垂直关系的证明方法(1)利用空间平行、垂直关系的转化:线线关系线面关系面面关系.(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.3.求两条异面直线所成的角(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角).(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.4.求直线与平面所成的角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形.(2)直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ=
3、cosβ
4、=.5.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD分别是二面角α
5、-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈,〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足
6、cosθ
7、=
8、cos〈n1,n2〉
9、,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的.( × )(2)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ )(3)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ )(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × )(5)两异面直线夹角的范围是,
10、直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].( √ )(6)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ.( × )题组二 教材改编2.[P104T2]设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为__________;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________.答案 α⊥β α∥β解析 当v=(3,-2,2)时,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0得α⊥β.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u得α∥β.3.[P111T3]如图
11、所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.答案 垂直解析 以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,·=·=0,∴ON与AM垂直.4.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为________.答案 45°或135°解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°.∴两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.
12、题组三 易错自纠5.直线l的方向向量a=(1,-3,5),平面α的法向量n=(-1,3,-5),则有( )A.l∥αB.l⊥αC.l与α斜交D.l⊂α或l∥α答案 B解析 由a=-n知,n∥a,则有l⊥α,故选B.6.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为________.答案 30°解析 设l与α所成角为θ,∵cos〈m,n〉=-,∴sinθ=
13、cos〈m,n〉
14、=,∵0°≤θ≤90°,∴θ=30°.题型一 证明平行或垂直问题1.(2018·台州调研)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分
15、别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内答案 B解析 以点C1为坐标原点,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=,则M,N,=.又C1D1⊥平面BB1C1C,所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为·=0,所以⊥,又MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.2.(2010·浙江)设l,m是两条不同的直线
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