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1、抛物线习题课一.求抛物线的标准方程[例1] 已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值.(2)求抛物线的焦点和准线方程.变式应用:根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)经过点P(4,-2);(2)焦点在直线3x-4y-12=0上.[例2 判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线:(1)过点P(0,3)且与直线y+3=0相切的动圆的圆心M的轨迹;(2)到点A(0,2)的距离比到直线ly=-4的距离小2的动点P的轨迹.二.抛物线性质的应用[例3] 求抛物线x=ay2(a≠0)的焦点坐标、准线方程.[例4]
2、 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.三.直线与抛物线的位置关系例5.已知抛物线y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线满足下列条件:①只有一个公共点;②有两个公共点;③没有公共点.变式:求过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.[例6] 求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上点的坐标.变式:抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A. B.
3、 C. D.3四:焦点弦问题例7斜率为的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于,两点,求线段的长.变式:过点作斜率为的直线,交抛物线于,两点,求[例8] 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:(1)x1x2为定值;(2)+为定值。[说明] 设AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,则:①y1·y2=-p2;②x1·x2=;③
4、AB
5、=;④以AB为直径的圆与准线相切;⑤+=.五:最值问题[例9] 已知抛物线的方程为
6、x2=8y,F是其焦点,点A(-2,4)在抛物线的内部,在此抛物线上求一点P,使
7、PF
8、+
9、PA
10、的值最小.变式:已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求
11、PA
12、+
13、PF
14、的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.[例10 定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2=x上移动,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此时AB中点M的坐标.例11.已知抛物线y2=6x和点A(4,0),点M在此抛物线上运动,求点M与点A的距离的最小值,并指出此时点M的坐标.六:定点定值问题[例12] 过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的弦OA、
15、OB.(1)求AB中点的轨迹方程;(2)证明AB与x轴交点为定点.变式:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.求证:直线AC经过原点O.巩固练习:1.若A是定直线l外的一定点,则过A且与l相切圆的圆心轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦AB,O为抛物线顶点,则∠AOB()A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定3.经过抛物线y2=2px(p>0)的所有焦点弦中,弦长的最小值为()A.pB.2pC.
16、4pD.不确定4.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若AB的中点横坐标为2,则|AB|为()A.B.4C.2D.5.若抛物线y2=2px(p>0)的弦PQ的中点为(x0,y0)(y≠0),则弦PQ的斜率为()A.-B.C.px-D.-px06.已知抛物线y2=2px(p>0)上有一点M(4,y),它到焦点F的距离为5,则△OFM的面积(O为原点)为( )A.1 B. C.2 D.27.设定点M与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,P点坐标为( )A.(0,0)
17、B.(1)C.(2,2)D.8.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为( )A.a>0时为(0,a),a<0时(0,-a)B.a>0时为(0,),a<0时为(0,-)C.(0,a)D.(,0)9.与y轴相切并和圆x2+y2-10x=0外切的动圆圆心的轨迹为( )A.圆B.抛物线和一条射线C.椭圆D.抛物线10.(2008·重庆)若双曲线-=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为( )A.2 B.3 C.4 D.411.已知P为抛物线y2=4x上一动点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),则
18、PA
19、+d的最小值
20、为( )A.4B.C.-1D.-112.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y