高中数学竞赛讲义 数列、组合 新人教A版

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1、§16排列,组合1.排列组合题的求解策略(1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这是解决排列组合题的常用策略.(2)分类与分步有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数,这是乘法原理.(3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数.(4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.(5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为

2、一个“大元素”,然后与其它“普通元素”全排列,然后再“松绑”,将这些特殊元素在这些位置上全排列.(6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板,把球分成4堆,分别装入4个不同的盒子中的方法数应为,这也就是方程的正整数解的个数.2.圆排列(1)由的个元素中,每次取出个元素排在一个圆环上,叫做一个圆排列(或叫环状排列).(2)圆排列有三个特点:(i)无头无尾;(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不同

3、的圆排列.(3)定理:在的个元素中,每次取出个不同的元素进行圆排列,圆排列数为.3.可重排列允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列.在个不同的元素中,每次取出个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种,所以从个不同的元素中,每次取出个元素的可重复的排列数为.4.不尽相异元素的全排列如果个元素中,有个元素相同,又有个元素相同,…,又有个元素相同(),这个元素全部取的排列叫做不尽相异的个元素的全排列,它的排列数是5.可重组合(1)从个元素,每次取出个元素,允许所取的元素重复出现次的组合叫从个元素取出个有重复的组合.(2)定理:从个元素每次

4、取出个元素有重复的组合数为:.例题讲解1.数1447,1005,1231有某些共同点,即每个数都是首位为1的四位数,且每个四位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个?2.有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数?3.有个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?4.将个不同的小球放入个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法?5.在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,共线的三点组的个数是多少个?6.用8个数字1,1,7,7,8,8,9,9可以组成不同的四位数有多少个?7.用五种颜色给正方体的各个面涂色,并

5、使相邻面必须涂不同的颜色,共有多少种不同的涂色方式?8.某种产品有4只次品和6只正品(每只产品可区分),每次取一只测试,直到4只次品全部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?9.在平面上给出5个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直,过每点向其余四点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个?10.位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有多少种?11.某城市有6条南北走向的街道,5条东西走向的街道.如果有人从城南北角(图点)走到东南角中点最短的走法有多少种?12.用4个1号球,3个2号球,2个3号球摇出一个9位的奖号,

6、共有多少种可能的号码?13.将个相同的小球,放入个不同的盒子().(1)有多少种不同的放法?(2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法?14.8个女孩和25个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩.(只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的)课后练习1.8次射击,命中3次,其中愉有2次连续命中的情形共有(  )种(A)15   (B)30    (C)48   (D)602.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数是(  )(A)0(B)1(C)2(D)33.某人

7、从楼下到楼上要走11级楼梯,每步可走1级或2级,不同的走法有( )种(A)144   (B)121   (C)64   (D)814.从7名男乒乓球队员,5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打,不同的分组方法有(  )种(A)   (B)   (C)  (D)5.有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张,可组成的不同币值(非0)有(     )种(A)79   (B)80    (C)88    (D)896.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数

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