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时间:2020-01-24
《03第三章 线性方程组的解法.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、理论上:只要,就可用克莱姆法则求出唯一解,第三章线性方程组的解法设有即其中实际上:当n较大时,1.计算量太大;2.舍入误差太大.两种算法:1.精确法,2.迭代法.§3.1引言1※附录一用克莱姆法则的计算量计算n个未知数线性方程组需:1.计算n+1个n阶行列式每个行列式展开式有n!项每一项有n个数相乘,要进行n-1次乘法乘法次数:(n+1)n!(n-1)2.n=20时乘法次数:S=21×20!×193.用每秒能进行一亿次乘除运算的计算机需用:S/100000000/60/60/24/365≈307815(年
2、)≈30(万年)2§3.2消去法一.简单消去法(2)(1)设令3其中其中(3)4设其中(4)5(5)若,则得6※附录二用消去法的计算量1.消去过程除法次数:乘法次数:2.回代过程乘除次数:3.n=20时总次数7<1>数值太大,造成溢出停机。在简单的消去法中,若二、主元消去法<2>舍入误差太大。8回代取四位小数计算,用简单消去法准确解为例(1)(2)9换一种方法消去(3)(4)回代与准确值接近10讨论其原因:两者相减即先求出的有舍入误差时,后求出的有舍入误差实际解为设准确解为11主元消去法—按取系数绝对值最
3、大的元素(称为主元)作为该步消去的元素。例(略)12§3.3矩阵的LU分解其中若已知——单位下三角阵其中——主对角线元素不为0的上三角阵13此时记则转化为14[定理]设有若A的各阶主子方阵的行列式不为0,即15设二、LU分解法16根据上表求L和U,求法如下表表(P.43)按矩阵乘法规则有下表例1.将进行LU分解(下略)17三、用LU分解法求解方程组例2.利用LU分解求解方程组四、用LU分解求行列式
4、A
5、的值紧凑格式将A进行LU分解A=LU18§3.4迭代法准确解为将(1)改写为写成迭代式则有k012345
6、6…01.62.122.0241.99281.998562.000432…0-1.3-1.06-0.982-0.9964-1.00108-1.000216…趋于准确解。一.方法介绍(1)例119若将(1)改写为写成迭代式k0123…08.66737.335-109.126…04.0000-17.668-84.358…不趋于准确解。20即改写为二、迭代收敛的条件设有AX=b(2)21或写成其中将改成迭代式即(4)22取初始值,代入(4)可得若存在.则称迭代过程收敛,即为(3)的解,其中否则称迭代发散。23[
7、定理1]则迭代公式,对任意初始值和都是收敛的。[定理2]则迭代公式,对任意初始值和都是收敛的。[定理3]则误差的估计:常用事后误差估计法只要若若设24例2用迭代法求解(精确到五位小数)(下略)25如何将,化为收敛的形式?1、设A是严格的对角线占优阵可将方程写成例:(P.76)三、方程组的变形必有262.A的主对角线元素其余则都很小,可将方程改写为因为都非常小,有可能使,从而迭代过程收敛.例:(P.77)27§3.5塞德尔迭代法迭代法称为塞德尔迭代法,也称为异步迭代法。[定理1]若或则塞德尔迭代法对任意的初
8、始值和都是收敛的。28
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