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《数学归纳法证明不等式四法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、青海教育!数数学归纳法证明1111%边=1+++⋯++>&k+用有关不等式的命%%%%&2&3&k&k+1学题,关键是“一凑一证”,常1证。因此,欲证当n=k+1时原不等式成立,只需证天用比较法、分析综合法、放%&k+1地缩法等方法完成“假设当n=%1%%2%2S数明k时命题成立,证明当n=k+1&k+%>&k+1,即&k+k+1>k+1’&k+k>kH&k+1UX□时命题也成立”这一步。以’k>0,显然成立。于是当n=k+1时,原不等式成立。U学不E下就此举例予以说明。由(1)(2)可知,对任意大于1的自然数,原不等式T
2、I靳一、比较法都成立。AN归等洪D用数学归纳法证明某三、放缩法I英些不等式命题时,题中关于用数学归纳法证明关于自然数n的不等式,从“k”纳式自然数n的表达式可表示为过渡到“k+1”,有时可考虑用放缩法。但需注意,放缩法法四(fn),用k表示(fk+1)-(fk),证题学生往往掌握不好,把握不住尺度,因为放得过大找到由“k”过渡到“k+1”的或缩得过小都不能达到目的,教学中需慢慢训练,谨慎法突破口,问题便可迎刃而使用。解。111n例3.求证:1+++,n∈N*。⋯+>例1.求证:若n∈N*,当232n-12n≥2时,有证明:
3、(1)当n=1时,不等式显然成立。111111++⋯+>(2)假设当n=k时,命题成立,则有1+++⋯+n+1n+22n223证明:(1)当n=2时1k11>①,要证n=k+1时命题也成立,即1+++⋯11712k-1223∵+=>2+12+2122111k+1+++⋯+>②。在不等式①的两边分∴2k-12k2k+1-12原不等式成立。1111(2)假设当n=k(k≥2)时,原不等式成立,即有别加上(++⋯+),就凑好了不等式②的k+12k2k+12k+1-1111111111111++⋯+>。设(fn)=++⋯+,则(f
4、k+左边,可得1+++⋯++(++⋯+)k+22k2n+1n+22n232k-12k2k+12k+1-11111k11111)-(fk)=+-=>0,从而有>++⋯+。接下来只需证++⋯+2k+12(k+1)k+12(k+1)(2k+1)22k2k+1-12k2k+11111,即当n=k+1时,原不等式也成立。>③k项,且最小,因(fk+1)>(fk)>,因为③式左边有222k+1-122k+1-1故由(1)(2)可知,当n是不小于2的任意自然数时,111112k此++⋯+>+⋯+=>2k2k+12k+1-12k+1-12
5、k+1-12k+1-1原不等式都成立。2k1二、分析综合法=,这就证明了③式成立。2k+12分析综合法是用数学归纳法证明关于自然数n的不等式时,从“k”过渡到“k+1”的常用方法。故由(1)(2)可知,对于任意自然数原不等式恒成例2.求证:若n∈N*,当n>1时,有立。111%四、乘因数(式)法1+++⋯+>&n%%%用数学归纳法证明不等式,由“k”过渡到“k+1”时,&2&3&n有时用乘因数(式)法,即在关于k的不等式两边同乘以证明:(1)当n=2时%%%一个因数(式),从而凑好n=k+1时的一边。1&2+2&2+2%2
6、-&2∵1+=-&2=>0an+bna+b%222例4.若a>0,b>0,n∈N*)n&2,则≥(22∴n=2时原不等式成立。22a+b(2)假设n=k(k≥2)时,原不等式成立,即有1+证明:(1)当n=1时,等号成立;当n=2时,-21+1+⋯+1>%ka+b(a-b)2&。当n=k+1时,原式左2%%%()=≥0,∴n=1,2时命题成立。&2&3&k2470QINGHAIJIAOYU2007/1-2青海教育!发挥主体能动性&优化数学课堂教学数学天□申莲菊地SH数学课堂教学中,教师应充分发挥学生的主让学生观察温度计的温
7、度变化,由温度计的温度变化UX在体性,引导学生积极参与课堂教学活动,使其引出课题。至于什么是数轴,怎样画数轴及其用途,可UE能够通过自主探究掌握新知识,成为学习的主人。要达引导学生自己阅读课本并展开讨论。同时,用激励性的TIA到这一目的,关键在于立足学生的发展,想方设法为学语言鼓励他们主动探求,动手画一画。这样,理论与实ND生的发展提供活动和想象的空间,创设条件让学生通践相结合,使学生在愉快的气氛中理解掌握了所学知I过观察、研究得出结论,让他们自由发表自己的见解,识。在克服一个个学习困难的过程中,发展数学素质,提高激发学生
8、的学习情感,增强其求知欲,由“要我学”学习能力,促进数学课堂教学的优化。变为“我要学”,有利于学生自觉地去探求知识的内在一、创设情境,培养学生自主参与意识规律,理解知识的内涵。要让学生真正理解和掌握数学基础知识并形成技三、以练习的多样化,培养学生的主体能动性能技巧,关键就是要让学生自主参与学习过程。“练
