第四讲：数学归纳法证明不等式

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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n

2、=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。例题精讲例1、用数学归纳法证明分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤证明：1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。2°假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。点评：数学归纳法是用于证明

3、某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0高考资源网版权所有侵权必究高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．要证明的等式左边共2n项，而右边共n项。f(k)与f(k+1)相比较，左边增加两项，右边增加一项，并且二者右边的首项也不一样，因此

4、在证明中采取了将与合并的变形方式，这是在分析了f(k)与f(k+1)的差异和联系之后找到的方法。练习：1.用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4解析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1

5、·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.例2、求证：．分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤。用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．证明：（1）当n=2时

6、，右边=，不等式成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时，　高考资源网版权所有侵权必究高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家　所以则当时，不等式也成立．　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．点评：本题在由到时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由到时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：例3、已知，，用数学归纳法证明：．证明：（1）当n=2时，，∴命题成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时，　高考资源网版权所有侵权必究高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专

7、家　所以则当时，不等式也成立．　　　由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．点评：本题在由到时的推证过程中，（1）不等式左端增加了项，而不是只增加了“”这一项，否则证题思路必然受阻；（2）应用了放缩技巧：练习：1、证明不等式：分析1、数学归纳法的基本步骤：设P(n)是关于自然数n的命题，若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.2、用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用

8、的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．证明：（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，高考资源网版权所有侵权必究高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家这就是说，n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．2.求证：用数学归纳法证明．证明：（1）当n=1时，，不等式成立；当n=2时，，不等式成立；