运用换元法巧解高考题-论文.pdf

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1、考点聚焦@簿■夏霖题目：(2013课标全国卷16)若函数厂()=(1一解析：设圆的方程为+(y-1意)=r冉2，由题意将ly=)(+仳+6)的图像关于直线~=-2对称，则)的最大值为——。—一代入圆方程得+(—1_一1)z：得r2，即“D件2+∞(—1_一lxl-llxl-1lxl-1这是一个关于四次函数的最值问题，动手拿导1)=r2，令t=I一1≥一1，数一处理，发现管用，导数作为一个研究函数性质的贝0有￡)：(t+1)：+(—1卅工具，是处理函数的最值问题的一把“利器”。若不用—一1)2=t2+—l_+2(=吾￡一一)+2：导数，能否挖掘其他的解题方法来解决此

2、类问题?(一—1解肿。一通过探索，笔者发现“换元”这一数学思想方法—)+2(f一—l_)+4：(t一—l_+1)+3。能够很快地解决此类数学问题，将复杂问题简单化。通过换元我们可以把高次的难处理的问题转化为低当t一一1—1时，￡)有最小值3，从而圆幅的面积t次的容易人手的问题，例如下面这个例子：一侈01求)=(+1)(+2)(+3)(+4)+5在[一3，3J的最小值为3。、=；以上例子大多是局部换元(又称整体换元)的类上的最小值及相应的值。型，事实上三角换元和均值换元也是解决最值问题分析：该函数是关于的四次函数，通过观察发的有效方法，特别在处理含有界参数的最值问题

3、时，现(+1)(+2)(+3)(斛4)可以两两配对达到换元降换元法有着导数无法匹敌的优势，例~n2006届清华次的效果。大学自主招生数学试题第2题：解析：令￡+5+4∈[一，28]，则t)=t(t+2)+例4已知0，6为非负数，M=a4+b4，a+b：1，求的4最值。分析1：由题意知0≤0≤1，0≤6≤1，a+b=1，于是5，当￡=一lfl~,f(t)~n-4。此时=二)删=4。想到三角换元，通过三角公式降次把问题转化为我受到例1的启发，笔者试着用换元的思想来重新们熟悉的二次函数在区间上的最值问题。审视上述高考题，发现换元法果然好用。解法1：令a~cos20，6=

4、sinZ0，0∈[0，一"If]，则例2(2013课标全国卷16)若函~tf(x)=(1一2：)(：+似+6)的图像关于直线~=-2对称，则)的最M=a％b=COS80+sin0=(COSO+sin40)—2sin40·COS0大值为——。=l(C0S20+sin20)。一2sinZOcos20J2-2sin40·COS40=解法1：由2(—sin220—1)—1，415)=(1-x即有)=一由00，]?mo≤si220，从而由闭区244令￡=+4一问上二次函数的特点知4)+l6。‰(1所以当拄4时，t)r~=16，即函数的最大值为16。，‰(÷)：1注：该题也可

5、以由函数图像关于直线=一2对称分析2：由0≤。≤1，O≤6≤1，Ⅱ+6=1想到对称引人手进行换元。参，即利用均值换元把问题转化为二次函数的最值解法2：由题意可得睽；二；；：解得问题。a=8，b=15)=(1-x)(+8x+15)=(1)[(+解法2：令一t，6=“，(0≤t≤一1)代入得2224)21]，令+2=t，贝4=t一2，t∈R。M(t)=+6=(—1—一t)+(—1—+f)4=2(￡+—)一1，而·224．．y=厂(t)=[1一(t-2)][(￡一2)2+8(t-2)+15]=(4f—t2—3)(；tz+3)0≤￡≤一1，由闭区间上二次函数的特点知：(0

6、)==16t2一(t2+3)=16t2一t4—6t2—9=16一(t2—5)2，．·．t2=5时4y一=16。再看下面这个例子，该题作为杭州市高二统测吉，。的填空压轴题，难度系数在0．2左右，笔者在学生中换元法的实质是转化，通过设元甚至构造元，变做了一些了解，发现没能顺利完成此题的学生，不管换研究对象，使复杂问题简单化，非标准型问题标准用导数还是直接化简，大多没有意识到此题可以通化。作为一名数学教学引领者，关注学生数学思维品过换元得以简化。可见作为教师在树立学生“换元”质、引导学生深刻地理解数学的本质是我们的首要思想的这条路上任重而道远．任务。在教学中，我们不妨少

7、用导数这类“大”工具，例3(2013杭州市高二统测17)设圆的圆心多从换元这类“小”方法人手，培养学生研究问题的为(0，1)若圆与函数v=—l_的图像有公共点，则良好习惯，为他们今后的高等数学学习奠定扎实的基础。圆M的面积的最小值为(作者单位：浙江省杭州市第十四中学)