实变函数期末考试题A.doc

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1、云南财经大学2008至2009学年第二学期实变函数课程期末考试试卷（试）（A）得分一二三四五六七八总分复核人阅卷人学号：姓名：班级：专业：院（系）：答案不得超过装订线姓名装班级订学号线一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分.把正确答案填在题中横线上）1.渐张集列必收敛，其极限集为。2.型集是开集的交集。3.上单调函数的不连续点所成之集的测度等于。4.若，则与的关系是。5.设是一可测渐张集列，则测度的下连续性用公式表示是。6．设f是上的广义实值函数，则对任意实数a，=_________.7．设是上的单调函数，则必在上可导。8．设是可测集上的非负可测函数，则的充要条

2、件是_________.9．区间上的有界函数是Riemann可积的充要条件是。10．设F(x)是定义在[a,b]上的实值函数，则成立牛顿-莱布尼兹公式的充要条件是：F(x)是[a,b]上的函数。二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）1．设{}是一集合列，则下述等式中正确的是()A.；B.C.；D.。2．设f(x)是E上的可测函数，则对任意实数a，有()A.E[x;f(x)>a]是开集；B.E[x;f(x)≥a]是闭集；C.E[x;f(x)>a]是可测集；D.E[x;f(x)

3、=a]是零测集。3．下列断言中错误的是()A.有理点集为零测集；B.Cantor集为零测集；C.零测集的子集是零测集；D.无穷个零测集的并是零测集。4．设f(x)为可测集上的可测函数，若，则下列断言错误的是()A.f(x)在上L-积分存在；B.f(x)在上L-可积；C.f(x)在上未必L-可积；D.f(x)在上a.e.有限。5．设是上的可测函数列，存在，则是（　）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。6．设是上有界变差函数，则有()A.连续；B.存在；C．a.e.存在；D.存在。7．设是可测集，是不可测集，，则是（）可测集且测度为零；可测集但测度未必为零；

4、不可测集；以上都不对。8．设是上的可测函数，则（）是上的连续函数；是上的勒贝格可积函数；是上的简单函数；可表示为一列简单函数的极限。把本题的各答案填写在下表中12345678三、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分。判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”)1．设为不可数集，则A，B中至少有一个为不可数集。()2.若为可测集，且，一定是可数集或有限集。()3．设是上的可测函数列，则在上可测。()4．函数f(x)在E上可测的充要条件是，对于每个实数a，集合E{f=a}可测。()5．任意多个零测集的并集仍是零测度集。()6．设f(x)为[a,b]上的绝对连

5、续，则f(x)在[a,b]上一致连续。()7．零测度集上的任意函数均为可测函数。()8．设为的可测子集，，则一定含有一个区间。()9．闭集减去闭集仍然是闭集（）10．若可测，则也可测。()把本题的各答案填写在下表中12345678910四、证明题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.证明：数集与实数集对等.2.设是区间内的全体有理点所成的集合，证明。3.设在上可测，是上的广义实值函数，并且，证明也是上的可测函数。五、简答题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。简答只须答出要点即可）1．可测集与Borel集之间的关系是什么？2．

6、几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何？（可用图示箭头表示）3．简述Lebesgue单调函数微分定理的内容。六、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.求。2.计算函数在区间上的全变差的值。