最新对f(x+a)=±f(a-x)_、f(x+a)=±f(x-a)_型的对称性、周期性的研究.整理后.doc

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1、__________________________________________________对、型及奇偶型函数的对称性、周期性的重要结论探究 新课程理念很重要的一个思想方法就是类比推理的应用。学生在高考中经常遇到与对称性、周期性有关的试题,却无从下手。本人就、等式及与奇偶函数有关的对称性、周期性进行了一系列的探究,归纳总结出了比较重要的结论,并介绍了记忆方法,希望对高中学生有所帮助。一、型1、型重要结论结论1:,关于直线对称。(由图像易得,证明略)对称轴的求法:结论2:,,为偶函数。【证明】:由结论1得关于直线对称,∴关于轴对称,即为偶函数。结论3(拓展

2、):与关于对称。(读者自己证明)对称轴的求法:令,所以。2、[]型重要结论结论4:,关于点对称;对称中心点的坐标的求法:;【证明】:∵由结论1得关于对称;又∵关于轴对称,∴由函数图像易得关于点对称。结论5:,关于对称。【证明】:由结论4对称中心算法,可得结论5成立。结论6:,为奇函数。【证明】:∵由结论1可得关于直线对称。收集于网络,如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________又∵关于轴对称,∴由函数图像易得关于关于点对称。∴关于点点对称。即是奇函数。结论7(拓展):与关于对称。(读

3、者自己证明)3、记忆方法:括号内式子之和能消去关于直线(或点)对称。①、关于直线对称;②、关于点对称;二、型1、重要结论结论8:,,若,则是周期函数。周期的求法:反复用去替换式中的,直至出现为止。①、证明,,若,则是以的周期函数。【证明】:∵∴,所以是周期函数,且周期。②、证明,,若,则是以的周期函数。【证明】:用替代式中的得∴∴∴,所以是周期函数,且周期。结论9:,,若,则是周期函数,且。【证明】:用替代式中的得∴所以是周期函数,且。结论10:,,若则,是周期函数,且。【证明】:用替代式中的得收集于网络,如有侵权请联系管理员删除________________

4、__________________________________∴(ⅰ)又用替代(ⅰ)式中的得∴所以是周期函数,且。2、记忆方法:括号内式子之和不能消去是周期函数。①、的周期是;②、的周期是。三、是奇(偶)函数型1、是偶函数结论11:若是偶函数且又关于对称,则为周期函数,.【证明】:由是偶函数得由关于对称根据结论1得(ⅱ)用替换(ⅱ)式中的得,∴为周期函数,且结论12:若是偶函数且又关于对称,则为周期函数,.【证明】:由是偶函数得由关于对称,根据结论4得,∴(ⅲ)用替代(ⅲ)式中得所以是周期函数,且周期。结论13(类推):,,若关于且对称,则为周期函数,;【

5、证明】:由关于且对称,根据结论1得,收集于网络,如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________∴(ⅳ)用替换(ⅳ)式中的得即所以是周期函数,且周期。结论14(类推):,,若关于直线对称,且又关于点对称,则为周期函数,;【证明】:由结论1,结论4得,∴由结论8得的周期;的周期即所以是周期函数,且周期。2、是奇函数结论15:若是奇函数且关于对称,则为周期函数,。(读者自己证明)结论16:若是奇函数且关于对称,则为周期函数,;(读者自己证明)结论17(类推):若,,关于且对称,则为周期函数,

6、;(读者自己证明)结论18(类推):若,,关于且对称,则为周期函数,;(读者自己证明)3、记忆方法:约定:只有对称轴(或只有对称中心)称作具有同类双对称性;既有对称轴又有对称中心称作具有异类双对称性。属于同类双对称周期为两者间距离之2倍;属于异类双对称周期为两者间距离之4倍;四、应用1、函数的定义域为R,若与都是奇函数,则()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数收集于网络,如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________【答案】:D【解析】:与都是奇函数∴关于点、对称,根据结

7、论17是周期的周期函数,∵是奇函数,∴是奇函数,故选D。2、已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(A).(B).(C).(D).【答案】:D【解析】:∵由结论8可得,是以周期的周期函数,∴,,又∵是定义在R上的奇函数关于对称,由图可得:,即,故选D。3、已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为()。A. B.  C.  D.【答案】C【解析】的周期为2,如右图。,故选C。4已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根,则=。【答案】:-8【解析】:因为定义在R上的奇函数,满足,所

8、以,关于直线对称且,∵,

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