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1、、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点Fi与F2的距离之差的绝对值等于定长（v
2、FiF2
3、）的点的轨迹（PF1
4、PF2
5、
6、2aF1F2（a为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2av
7、FiF2
8、。当
9、MFi
10、—
11、MF2
12、=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当
13、MFi
14、—
15、MF2
16、=—2a时，曲线仅表示焦点Fi所对应的一支；当2a=
17、FiF2
18、时，轨迹是一直线上以Fi、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a>
19、FiF2
20、时,动点轨迹不存在。a22、第二定义：动点到一定点F的距离
21、与它到一条定直线l（准线一）的距离之比是常数e（e>i）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程b22x焦点在x轴上：力a2yb2(a>0,b>0)2焦点在y轴上：-y-2a2xb2(a>0,b>0)（i）如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于bo判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上21共焦点的双曲线系方程是二一a2k(3)双曲线方程也可设为:2—1(mn0)n顶点坐标(
22、a,0)(a,0)(0,a,)(0,a)离心率ec(e1),c2a2b2,e越大则双曲线开口的开阔度越大a准线方程2ax一c2ay—c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ja_c顶点到准线的距离2顶点A(A2)到准线li(12)的距离为a里c2顶点A(A2)到准线12(li)的距离为三ac焦点到准线的距离八.2,2焦点Fi(F2)到准线li(I2)的距离为c三巴cc>」__-2焦点Fi(F2)到准线12(li)的距离为里Cc渐近线方程.2.2b/虚、cbcby—x(—)，c,—c,—a头a和ab/虚、x"友)将右边的常数设为0,即可用解二兀二次的
23、方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程22二j(k0)ab22J2〜k0)直线和双曲线的位置22双曲线Ji与直线ykxb的位置关系：a2b222二Li利用a2b21转化为，元二次方程用判别式确定。ykxb二次方程一次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长ABJik2J(xix2)24xix2…一।2b2通径：AB
24、y2yi与椭圆一样a过双曲线上一点的切线x0xy0y-0rHi或利用导数aby02yx02xi或利用导数a2b2四、双曲线的参数方程:xasecxacos椭圆为ybtanybsin五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交
25、于AB=11+k2为x22A(xi,yi)B(x2,y2)两点，则k为直线斜率1+k2、x1x24x1x2［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长
26、AB
27、2b23、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式2双曲线Ja2yY1(a>0,b>0)上有一动点M(x0,y0)b左焦半径:r=ex+a右焦半径:r=ex-a当M(x0,y°)在左支上时
28、MFi
29、ex0a,
30、MF2
31、当M(x
32、0,y0)在右支上时
33、MF1
34、ex0a,
35、MF2
36、左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)MF1MF2exoaex0a构成满足MFi
37、
38、MF22a注：焦半径公式是关于x0的一次函数，具有单调性，当M(x0,y°)在左支端点时
39、MFi
40、ca,IMF2Ica,当M(x0,y0)在左支端点时
41、MF1
42、ca,
43、MF2
44、ca七、等轴双曲线22、y—1(a>0,b>0)当ab时称双曲线为等轴双曲线abb;2。3。两渐近线互相垂直，分别为y=x；4。等轴双曲线的方程x2y2,
45、0；八、共轲双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轲双曲线,通常称它们互为共轲双曲线。22xy~772ab2y_b2互为共轲双曲线，它们具有共同的渐近线:2L0b2九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线占八、、P(x0,y0)在双曲线2y_b21(a0,b0)的内部2x0ayb2代值验证，如x2y21占八、、P(x0,y0)在双曲线2yb21(a0,b0)的外部2x0a2y。b2占八、、P(x0,y0)在双曲线2yb21(a0,b0)上2&2a2-加=1b22、直线与双曲线代数法:设直线l:ykx2-yy1
46、(a0,bb20)联立解得(b2k2)x22a2mk
