2007年全国初中数学联赛四川初赛试题

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1、2007年全国初中数学联赛四川初赛试题(3月24日上午9:00—11:00)一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)1.若a,b为实数,满足=,则(1+a+b)(1-a-b)的值是().(A)-1(B)0(C)1(D)22.设p是正奇数,则p2除以8的余数等于().(A)1(B)3(C)5(D)73.已知△ABC中,AB=AC=4,高AD=4,则△ABC的外接圆半径是().(A)3(B)4(C)5(D)64.设a,b是整数,方程x2+ax+b=0的一根是,则a+b的值是().(A)-1(B)0(C)1(D)25.工地上有甲、乙二块铁板,铁板甲形状为等腰三

2、角形,其顶角为45°,腰长为12cm;铁板乙形状为直角梯形,两底边长分别为4cm、10cm,且有一内角为60°.现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过,结果是().(A)甲板能穿过,乙板不能穿过(B)甲板不能穿过,乙板能穿过(C)甲、乙两板都能穿过(D)甲、乙两板都不能穿过6.设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立的是().(A)x12+x22=17(B)x12+x22=8(C)x12+x22<17(D)x12+x22>8二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.已

3、知不等式ax+3≧0的正整数解为1,2,3,则a的取值范围是.2.如图,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点,且△ADM为等边三角形,则S△CDM:S△ABM=.3.有一种产品的质量要求从低到高分为1,2,3,4共四种不同的档次.若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品.要使利润最大,车间应生产第种档次的产品.4.方程2x2+5xy+2y2=2007的所有不同的整数解共有组.三、(本大题满分2

4、0分)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(,+2),B(-1,),C(c,2-c).求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.四、(本大题满分25分)如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于E,DE交BC于N.求证:BN=CN.五、(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.

5、按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)2007年全国初中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分细则一、选择题(本大题满分42分,每小题7分,共42分).1、C;2、A;3、D;4、B;5、A;6、D.二、填空题(本大题满分28分,每小题7分,共28分).1、-1≦a<-;2、2;3、3;4、4.三、(本大题满分20分).解:由条件知,+2=a+b,且=-a+b,解得a=-1,b=2-1.5分于是2-c=ac+b=(-1)c+(2-1),解得c=-210分因此,a-b=-,b-c=+1,c-a=-1;∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=〔(a-

6、b)2+(b-c)2+(c-a)2〕=〔(-)2+(+1)2+(-1)2〕=4+.20分四、(本大题满分25分)证明:连结AC和BD,∵弦CD垂直于直径AB,∴BC=BD.5分∴∠BCD=∠BDC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵∠BDC=∠OAC,∴∠BCD=∠OCA.∴△BCD∽△OCA.∴=15分在△CDN和△CAM中,∵∠DCN=∠ACM,∠CDN=∠CAM,∴△CDN∽△CAM;20分∵===,∴CN=CB,即BN=CN.25分五.(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、

7、…、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜.按照这种游戏规则,求甲获胜的概率.(用具体的数字作答)解:由于甲、乙都非常聪明,他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到2,3,4,…,2006中有1002个奇数,有1003个偶数;(1)若裁判擦去的是奇数,此时乙一定获胜.乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,故乙胜;10分(2)若裁判擦去的数是偶数,此时甲一定获胜。设裁判

8、擦去的数是2m,则将所剩的数配成1002对:(2,3),…,(2m

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