圆和圆的位置关系

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1、圆和圆的位置关系　　一、内容综述　　1.设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系如下：　　（1）两圆外离d>R+r　　（2）两圆外切d=R+r　　（3）两圆相交R-rr)　　（5）两圆内含dr)　　利用这个结论，可以把“形”转化为“数”，就是可以根据数量关系确定圆的位置关系。　　2.根据两圆不同的位置关系，可以添加不同的辅助线。　　　　（1）两圆相切时，可添公切线，利用切线与半径垂直，切线与弦所组成的弦切角等于弧所对的圆周角等性质解题。　　（2

2、）两圆相交时，可连结公共弦，利用相交弦定理或圆周角，相似三角形等性质解题。　　　　（3）有关公切线或圆心距的计算，可以通过平移公切线，组成以公切线、圆心距、两圆半径差（或和）为三边的直角三角形，通过解直角三角形来解题。　　　　二、例题举例　　例1.如图（1），已知⊙O1与⊙O2相交于B、C，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B点作⊙O1的切线交AE于F。　　（1）求证：BF//DE；　　（2）若∠BAC=30°，AC：AD=1：2，求　　分析：欲证BF//DE，根据平行线的判定，需要利用同位角、内错角、同旁内角，图形中可

3、直接看到同位角，如果能证明∠D=∠ABF，则结论可得。但因这两个角分别在两个圆里，没有相应的定理予以保证，怎样把两个圆的角转化到一个圆中，或找个“中介”转换一下，成为解决问题的关键点。这时，连结公共弦，利用“圆内接四边形的外角等于内对角”，可得结论。　　当遇到两个相交圆时，如果需要沟通角的关系时，往往需要连结辅助线――公共弦。　　解：（1）证明：连结BC。　　∵AB是⊙O1的直线，　∴∠ACB=90°，　　又BCED是⊙O2的内接四边形，　　∴∠BDE=∠ACB=90°，　　而BF是过点B的⊙O1的切线，　　　　　　　　　∴∠ABF=90°，　　∴

4、∠ABF=∠ADE，　∴BF//DE。　　（2）在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，设AB=2k，　　则cos∠BAC=，　　即AC=AB·cos30°=2k×=k，　　∵AC：AD=1：2，　∴AD=2k，　　而BF//DE，　∴△ABF∽△ADE，　　∴.　　说明：利用公共弦将两个相交圆联系起来，转换两个圆中的角，是常见的方法。　　例2.如图，⊙O和⊙O'内切于P点，半径OA和OB切⊙O'于C，D，连O'C和O'D，如果两圆半径分别为9和3，求∠CO'D的度数。　　分析：两圆相切，连结OO'延长必过切点P，易得∠CO'O=∠DO'O，已经两圆

5、的半径，在直角三角形中可以求出∠CO'O。　　解：因⊙O和⊙O'内切于点P，故连结OO'延长必过切点P。因OA切⊙O'于C，　　故O'C⊥OC。　　因在RtΔO'CO中,O'C=3，OO'=OP-O'P=6，　　故O'C=OO',∠COO'=30°.　　由切线长定理，得∠COO'=∠DOO',∠COD=60°.　　在四边形ODO'C中，因∠OCO'+∠ODO'=180°,　　故∠CO'D=180°-60°=120°.　　例3.如图（2），已知AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径作圆，交⊙O于P、Q，PQ交CD于G。

6、求证：CG=GD。　　分析：证明CG=DG，而CG、DG既不是圆周上的弦，又不在一个三角形中，全等、三线合一等这些常用来证明线段相等的方法都不可能。观察图形最大的特点是两圆相交，公共弦PQ将两圆中的线段关系联系在一起，所以可以用相交弦定理，转换线段的关系，则作辅助线以便使用相交弦定理。　　证明：延长DC交⊙C于E，延长CD交⊙O于F，　　由相交弦定理，得　　PG·GQ=CG·GF=CG·(GD+DF)　　PG·GQ=DG·GE=DG·(GC+CE)　　∴CG·(GD+DF)=DG·(GC+CE).　　　　　　　　　整理得：CG·DF=DG·CE，　

7、　由直径AB⊥弦CF，得DF=DC=CE，　　∴CG=DG　　说明：为了利用相交弦定理，往往添加类似“延长与反向延长CD”这样的辅助线。　　例4.已知：如图⊙O1与⊙O2外切于P，AB切两圆于A、B，△APB周长为40，面积为60，求：P点到AB的距离。　　分析：两圆外切，作两圆的公切线，是常见的辅助线，两圆内的角和线段可以通过内公切线进行转化,另外△APB是直角三角形这个结论常常要用到，希望同学们记住。　　解：过P作两圆的公切线PC交AB于C，过P作PD⊥AB，垂足为D，则PD为P到AB的距离。　　∵AB、PC是两圆的公切线，　　∴CA=CP，C

8、B=CP，　　∴∠CAP=∠CPA，∠CPB=∠CBP，　　∴2(∠CPA+∠CPB)=180°，　∴∠APB=90°，