高中数学必修5自主学习导学案：3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

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1、3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（教师版）1．新课引入一家银行的信贷部计划年投入2500万用于企业和个人贷款，希望这笔钱至少带来100万元的收益，其中从企业贷款中收益12%，从个人贷款中收益10%，设用于企业贷款资金为x万元，用于个人贷款资金为y万元，则．怎么得到上述二元一次不等式组的解呢？2．二元一次不等式（组）与平面区域我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．我们把几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．满足二元一次不等式组的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解

2、集，有序实数对可以看昨成直角坐标平面内点的坐标。于是二元一次不等式组的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。思考1：在平面直角坐标系中，直线将平面分成几部分呢？答：分成三部分:（1）点在直线上；（2）点在直线的右上方；（3）点在直线的左下方思考2：不等式对应平面内哪部分的点呢？直线上的点的坐标满足，那么直线两侧的点的坐标代入中，也等于0吗？先完成上表，再观察有何规律呢？规律：同侧同号，异侧异号（1）点集表示直线右上方的平面区域；（2）点集表示直线左下方的平面区域．（3）直线叫做这两个区域的边界．方法总结：判定二元一次不等式组表示的平面区域的方法是以线定界，以点

3、(原点)定域(以Ax＋By＋C>0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．(2)“以点定域”，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．(3)“交定区”．※典型例题考点1．二元一次不等式表示的平面区域【例1】判断原点是否在2x－3y＋5≤0所表示的平面区域内，并画出其表示的平面区域．解析：将原点(0,0)代入2x－3y＋5，得5>0，不满足已知不等式，因此原点不在2x－3y＋5<0所表示的平面区

4、域内．先作直线2x－3y＋5＝0，因不等式中带等号，故应画成实线，由前述其表示的平面区域应为直线2x－3y＋5＝0的不含原点的上方一侧(含直线本身)，如下图．点评：应注意不等式所表示的区域是否包含边界，若不包括边界，边界应画成虚线(如果是坐标轴，应通过文字加以说明)．变式探究1　画出下面二元一次不等式表示的平面区域：(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.解：(1)画出直线x－2y＋4＝0(画成实线)，∵0－2×0＋4＝4≥0，∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0(画成虚线)．∵0－

5、2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界.考点2．二元一次不等式组表示的平面区域【例2】画出不等式组表示的平面区域，并指出x，y的取值范围．分析：→→→解析：不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合；x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．点评：判定二元一次不等式(组)表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋

6、C>0为例)．(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．(2)“以点定域”，由于在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．(3)“交定区”．变式1．画出下列不等式表示的平面区域．(1)(x－y)(x－y－1)≤0；(2)x≤

7、y

8、≤2x.解析：(1)⇒0≤x－y≤1，或矛盾无解，故点(x，y)在一带形区域内(含边界)，如图1(阴影部分)．图1图2(2)由x≤2x，得x≥0；当y>0时，有点(x，y)在一条形区

9、域内(含边界)；当y≤0，由对称性得出．如图2(阴影部分).考点3．二元一次不等式组表示的平面区域的面积【例3】不等式

10、x

11、＋

12、y

13、≤2所表示的平面区域的面积为________．分析：先通过不等式准确确定所求区域的形状，然后通过相应的距离、面积公式可求该区域的面积．解析：不等式

14、x

15、＋

16、y

17、≤2等价于不等式组：画在直角坐标系中，如图，易得图形为正方形ABCD，

18、AB

19、＝2，所以S＝(2)2＝8.变式1．满足不等式组的点(x，y)构成的区域的面积为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．易知A点的坐标为(2,3)，B点的坐

20、标为(1,2)，从而可知