函数概念 ,复合函数,分段函数

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1、函数及其表示◆教学目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。◆重难点：重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。重点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。教学步骤及内容一．知识归纳：1．映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元

2、素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。2．函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。注意：①CB;②A,B,C均非空（2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域

3、3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二．例题讲解：典型例题一：函数定义例1已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)例2函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？【方法、技巧】同一函数的判断：一般地，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但是值域由定义域和对应法则所确定的，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：(1)定义域不同，两个函数也就不同；4(2)对应

4、关系不同，两个函数也是不同；(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1例1判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？A.f(x)=(x－1)0；g(x)=1B.f(x)=x；g(x)=C．f(x)=x2；f(x)=(x+1)2D.f(x)=

5、x

6、；g(x)=典型例题二：由解析式求函数定义域例2求下列函数的定义域（用区间表示）f(x)=；f(x)=；f(x)=－例3f(x)＝；f(x)＝＋例4；典型例题三：映射与函数例5判断下

7、列两个对应是否是集合A到集合B的映射？是不是函数？4例1已知函数(1)求x=2，5，8时的象f(2)，f(5)，f(8)；(2)求f(x)=35，47时的原象。例2已知映射(1)求x=-3，-2，0，2，3时的象；(2)求f(x)=10，5，1时的原象。例3已知，按照对应法则f，不能成为从A到B的映射的是：（）A.B.C.D.三．难点点拨：（复合函数与分段函数）复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.复合函数定义域问题：设函数的定义域为D，即，所以

8、的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。41.复合函数定义域：41.复合函数解析式：(1)代入法。已知，求(2)待定系数法。例如，已知是一次函数，且，求*(3)拼凑法。例，已知*(4)换元法。例如，已知*(5)方程组法。已知满足，求的解析式。练习：1.已知，则=___________；=______________；2.已知；，求的解析式；答案:41.已知是一次函数，且有，求此一次函数的解析式；2.已知的最小值；3.已知，求的表达式；答案：4.已知答案：1.分段函数：1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范

9、围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；例1、已知函数y=

10、x－1

11、+

12、x+2

13、(1)作出函数的图象。(2)写出函数的定义域和值域。4例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。例3、已知函数f(x)=2

14、x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).(1)求g(a)的函数表达式(2)