2012年高考数学专题复习_椭圆

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1、2012年高考数学专题复习椭圆【考纲要求】1.掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2.掌握椭圆的简单几何性质一、考点回顾1.椭圆的定义1.第一定义：满足的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆2.第二定义：到一个定点与到一定直线的距离之比等于一个小于1的正数的点的轨迹叫椭圆其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线，定义式：2.椭圆的标准方程（1）焦点在轴上：焦点，，且满足：（2）焦点在轴上：焦点，，且满足：（3）统一形式：【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道任意两个，可求第三个，其中3.椭圆的参数方程焦点在轴上，中心在原点的椭

2、圆的参数方程为：（为参数）（其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长）4椭圆的简单几何性质以椭圆为例说明（1）范围：，（2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点（3）顶点：长轴顶点：，，短轴顶点：，（4）离心率：。【注】①；②越大，椭圆越扁；③（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。左准线：右准线：（6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为，5点与椭圆的位置关系已知椭圆，点，则：6关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设，则有：P①，当（即为短轴顶点）时，最大，此时②的面积当（

3、即为短轴顶点）时，最大，且③AB（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。设，的中点为，则弦长（左焦点取“+”，右焦点取“-”）当轴时，最短，且7椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。8.关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法二典例剖析1求椭圆的标准方程

4、【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆方程为_____________________【解】（1）由已知：，又，故求得：。所以，椭圆方程为：（2）设椭圆方程为：，且设，，PQ的中点为。由已知：，所以，即有：，又，求得：或。联立，消去y,得：，则有:，即。由韦达定理可得：，从而有，易知：，，所以或，解之得：或。故椭圆方程为：或。【例2】设椭圆

5、的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且（1）求椭圆的离心率。（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。【解】（1）由已知可得：由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：。即（2）由（1）得：，圆心为，半径于是有：，所以。故椭圆方程为：【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点与椭圆交于两点，与轴交于点点，且（1）若，求椭圆离心率的取值范围（2）若，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程【解】（1）设椭圆方程为：，则直线的方程为：由，可求得：代入椭圆方程，并整理得：而且，故有：由已知：得

6、：考虑到，故求得：（2）由（1）可知，当时，故椭圆方程可化为：联立消去得：设的中点为，则易知：椭圆的右准线为：，于是故椭圆方程为：【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程（2）若，求直线的方程（3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点（4）求的最大面积【解】（1）椭圆方程为：（2）设直线的方程为：，且设联立消去，得：则从而求得：由得：，求得所以的方程为：（3）有已知及（2）知：。设直线与轴交于点则有由（2）可知：所以又由（2）知：，所以，即故直线过定点，即为椭圆

7、的右焦点（4）由（1）得：令，则当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为【例5】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为（1）求椭圆的标准方程（2）若直线与椭圆交于两点（不是左，右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标【解】（1）由已知且从而所以椭圆的方程为：（2）设联立，消去得：则又有从而有因为以为直径的圆过右顶点，所以而，所以即所以得：或ⅰ）当时，直线过右顶点不合题意ⅱ）当时，直线为，显然直线过定点故直线过定点，且定点坐标为2椭圆的性质【例6】已知椭圆的两个焦点

8、分别为，，在椭圆上存在一点，使得（1）求椭圆离心率的取值范围（2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性