《函数的单调性和奇偶性》经典例题

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1、经典例题透析类型一、函数的单调性的证明　　1．证明函数上的单调性.　　证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0　　　　　则　　　　　∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0　　　　　∴上递减.　　总结升华：　　[1]证明函数单调性要求使用定义；　　[2]如何比较两个量的大小？(作差)　　[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)　　举一反三：　　【变式1】用定义证明函数上是减函数.　　思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.　　证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1

2、　　　　　∵00　　　　　∴x1f(x2)上是减函数.　　总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.10类型二、求函数的单调区间　　2.判断下列函数的单调区间；　　(1)y=x2-3

3、x

4、+2；(2)　　解：(1)由图象对称性，画出草图　　　　　　　　　　　∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.　　　　(2)　　　　　∴图象为　　　　　　　　　　　∴f(x)在上递增.　　举

5、一反三：　　【变式1】求下列函数的单调区间：　　(1)y=

6、x+1

7、；(2)　　　　(3).　　解：(1)画出函数图象，　　　　　∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；　　　　(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，10　　　　　在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；　　　　(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).　　总结升华：　　[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；　　[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.　　[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数

8、；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)　　3.已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.　　解：　又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.　　4.求下列函数值域：　　(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；　　(2)y=x2-2x+3；　1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].　　思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.　　解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图　　　

9、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1)f(x)在[5，10]上单增，；10　　　　　2)；　　　　(2)画出草图　　　　　　　　　　　　1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：　　【变式1】已知函数.　　(1)判断函数f(x)的单调区间；　　(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.　　思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.　　解：(1)　　上单调递增，在上单调递增；　　　　(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增　　　　　∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-

10、2x=3时f(x)有最大值　　　　　∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.　　5.已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间10上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.　　解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知　　　　　只需；　　　　(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4　　　　　∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.　　举一反三：　　【变式1】（2011北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.　　解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，

11、　　　　由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性　　6.判断下列函数的奇偶性：　　(1)　(2)(3)f(x)=x2-4

12、x

13、+3　　　　　　　　　　　　　(4)f(x)=

14、x+3

15、-

16、x-3

17、(5)(6　　　　　　　　(7)　　思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.　　解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；