2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念学案（含解析）新人教a版选修2-2

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1、1．5.3　定积分的概念定积分的概念问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？提示：分割、近似代替、求和、取极限．问题2：你能将区间等分吗？提示：可以．定积分的概念如果函数f(x)在区间上连续，用分点a＝x0

2、数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．对定积分概念的理解由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.定积分的几何意义问题1：根据定积分的定义，求(x＋1)dx的值是多少．提示：(x＋1)dx＝.问题2：(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．11定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线

3、y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分f(x)dx的几何意义．评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a，x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.定积分的性质问题1：利用定积分的定义，试求x2dx，2xdx，(x2＋2x)dx.提示：计算得x2dx＝，2xdx＝3，(x2＋2x)dx＝.问题2：由问题1计算得出什

4、么结论？提示：x2dx＋2xdx＝(x2＋2x)dx.问题3：还有相类似的性质吗？提示：有．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；(2)dx＝f1(x)dx±；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

5、定积分　利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．　令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间上等间隔地插入n－1个分点，把区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、作和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则Sn＝·Δx＝＋2·＝＝＋5＝×＋5＝－.(3)取极限(3x＋2)dx＝liSn＝li＝.利用定义求定积分的步骤11利用定积分的定义，计算(x＋1)dx的值．解：f(x)＝x＋1在区间上连续，将区间等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝.在上取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，

6、∴f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，∴(ξi)·Δx＝·＝＝·n＋＝2＋＝2＋－＝－，∴1(1＋x)dx＝＝.利用定积分的几何意义求定积分　说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)2dx；(2)xdx；(3)dx.　(1)2dx表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.11(2)xdx表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.(3)－1dx表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx＝.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求

7、f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x在区间上连续不间断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S＝－(－1－x)dx＝×3×3＝，所以阴影部分的面积为.图②中，被积函数f(x)＝－在区间上连续不断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S＝－－dx＝π×12＝，11所以阴影部分的

8、面积为.利用定积分的性质求定积分　已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求下列各式的值：(1)(3x3)dx；(2)(6x