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1、习题精选精讲集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．下面就集合元素的这三个性质及应用加以说明．一、注意正确理解其意义1．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），即同一个集合中的任何两个元素都是不
2、同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．3．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．二、注意正确利用三性解题例1 下列命题正确的有哪几个？⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合｛1，5｝与集合｛5，1｝是不同的集合；⑶集合｛（1，5）｝与集合｛（5，1）｝是同一个集合；⑷由1，，，∣－∣，0.5这些数组成的集合有5个元素．分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序
3、性为标准作出判断．解：⑴很小是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错． ⑵｛1，5｝是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与｛5，1｝是同一个集合，故⑵错． ⑶｛（1，5）｝是由一个点（1，5）组成的单元素集合，由于（1，5）与（5，1）表示两个不同的点，所以｛（1，5）｝和｛（5，1）｝是不同的两个集合，故⑶错． ⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5这些数组成的集合为
4、｛1，，0.5｝，共有3个元素．因此，⑷也错．例2 已知集合Ａ＝｛，＋，＋2｝，Ｂ＝｛，，｝，其中，Ａ＝Ｂ，求的值．分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性．解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的无序性 ，∴有以下两种情形：18习题精选精讲 ① 消去，解得＝1，此时＝＝，与集合中元素的互异性矛盾，∴1． ② 消去，解得＝－，或＝1（舍去），故的值为－．评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题
5、的大门，求出值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．例3 设Ａ＝｛ｘ∣＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０得 （ｘ＋1）（ｘ＋ｂ＋1）＝０ （1）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2 －1，此时Ａ中的元素之和为－2． （2）当ｂ０时，ｘ1＋x2 ＝－ｂ－2．分析上述解法错在（1）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－1，集合Ａ＝｛－1｝，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意
6、元素的“互异性”．例4 已知集合{2，3,+4+2}，B＝{0,7,+4-2,2-}，且AB={3,7},求值．分析：∵AB={3,7}∴+4+2=7．即=1，或=－5．至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查．当=－5时,2－=7，在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去=－5．当=1时,B={0,7,3,1}且AB={3,7}∴=1 评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之
7、毫厘则失之千里．18习题精选精讲集合与函数、导数部分易错题分析1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2．你会用补集的思想解决有关问题吗？3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？[问题]:、、的区别是什么？4．绝对值不等式的解法及其几何意义是什么？5．解一元一次不等式（组）的基本步骤是什么？[问题]:如何解不等式：？6．三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次
8、项系数及对称轴进行讨论了吗？7．简单命题与复合命题有什么区别？四种命题之间的相互关系是什么？如何判断充分与必要条件？[问题]：请举例说明“否命题”与“命题的否定形式”的区别.什么是映射、什么是一一映射？[问题]：已知：A={1，2，3}，B={1，2，3}，那么可以作个A到B上的映射，那么可以作个A到B上的一一映射.9．函数的表示方法有哪一些？如何判断函数的单调性、周期性、奇偶性？单调性、周期性、奇偶性在函数的图象上如何反应？什么样的函数有反函数？如何求反函数？互为反函数的图象间有什么关系？求一
