正余弦定理习题精选精讲 (1)

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1、习题精选精讲正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1(2005年全国高考江苏卷)中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．解：由正弦定理得：，得b＋c＝[sinB＋sin(－

2、B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选(D)．评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2(2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3(2

3、005年北京春季高考题)在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．习题精选精讲∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公

4、式来解题．例4(2005年全国高考上海卷)在中，若，，，则的面积S＝_________分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB•ACsinA即可解决．解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．∴S＝AB•ACsinA＝．∴AB•AC•sinA＝AC•h，得h＝AB•sinA＝，故选(A)．四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已

5、知条件，应用正弦定理解得从而五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题图1ABCD例1如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但

6、是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？习题精选精讲西北南东ABC30°15°图2解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15

7、sin30°=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题图3ABC北45°15°例3如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°　方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南　　偏西15°方向航行，若甲船以28nmile

8、/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用th，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9