两个正方形剪拼成一个大正方形

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1、两个正方形剪拼成一个大正方形湖北省襄阳市黄集镇初级中学(441123)赵国瑞图1图1中的两个正方形连成了一体.布鲁斯博士说,只要在上面画两条直线,把这个图形分成四块,就可重新拼成一个正方形而无任何剩余.你能做到吗?提示根据图形剪拼后面积相等的原理,求出要拼成的正方形的边长,并在目前的图形中寻找这样长度的线段.)答案这两个正方形无具体尺寸,但不管怎样,它们拼成的图形的面积,总是它们的面积的和,这是一切图形拼剪问题的着手点.图2现设一个正方形的边长为a,另一个正方形的边长为b,则这两个正方形的面积之和为a2+b2.再设它们所拼成的正方形的边长为c,则有c2=a2+b2.根

2、据勾股定理,c正是以a、b为直角边的直角三角形的斜边.根据这条线索,我们在图2上试着找出一个这样的直角三角形.显然,CGF符合要求,因此CF的长度就是我们要拼的正方形的边长.既然如此,何不试着把CF作为我们要拼的那个新正方形的一条边呢?于是我们连接CF,即把CF图3作为我们所画的第一条划分线.既然CF是新正方形的一条边,那么过C点与CF垂直的那条直线上应该有着新正方形的另一条边.于是我们如此画一条直线,如图3,设这条直线交DE于H,交AG于I;并为了下面证明的需要,设它交BA的延长线于J.这样就把图形分成了四块:RtICF()、四边形CHEF()、直角梯形IABC()

3、和RtCDH().这样的四个图形能不能拼成一个正方形呢?图4如图4所示,这样的四个图形东西确实可以拼成一个正方形.具体的操作过程是:(1)把RtCDH沿直线HJ平移到RtJAI的位置,与直角梯形ABCI拼成一个RtJBC.这一操作的合理性需要有RtCDHRtJAI作保证,这将在下面证明.(2)把RtJBC平移到四边形CHEF的右边并与之拼合.这里需要有EF=AB+JA,但如果有RtCDHRtJAI,则JA=CD,从而有EF=GD=GC+CD=AB+JA.(3)把RtICF沿直线JH平移到刚才拼合成的图形下面并与之拼合.这里需要有IF=BC+HE,但如果

4、有RtCDHRtJAI,则AI=DH,从而有IF=IG+GF=AG-AI+GF=BC-DH+DE=BC+HE.于是在RtCDHRtJAI(待证)的前提下,我们得到了图4的四边形,但我们还要证明它是正方形.目前仅知道这个四边形有两个角(即原来中的ICF和原来中的FCH)是直角.我们还需要证明其他两个角也是直角.其实这很容易.由于在原来的图形中,CFI+CIF=90,而CIF=ICB,所以CFI+ICB=90.(下转第27页)28x网址:zxss.chinajournal.net.cn电子信箱:zxss@chinajournal.net.

5、cn数学史话吉林省公主岭市教育六号楼四单元21(136100)窦英俊李玉程程大位是明朝(公元16世纪)人,是我国古代伟大的数学家,他花了几十年的时间,精心研究各种数学书籍,并结合自己的体会,于1593年编写出了算法统宗一书,此书出版后,就在国内各地广泛流传,当时此书成为我国初等数学教科书,它在我国数学史上是一部很重要的著作.本文将介绍此书中的一道百羊趣题如下:甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后,戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机奥妙谁参透?这道题,大意是说:牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧,有一个过路

6、人牵着一只肥羊从后面跟了上来,他对牧羊人说:你好,牧羊人!你赶这群羊大概有一百只吧?牧羊人答道:如果我再有这样一群羊,并且加上这群羊的一半,又四分之一群,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只,谁能够知道牧羊人放牧的这群羊一共有多少只?弄清了题意以后,这道题的解法很简单,其解法如下:解法一(算术法):把原来群羊看作1,又一群羊也是1,半群是12,小半群是14,则总的分数为:1+1+12+14,它对应的羊数为100-1.故得算式(100-1)(1+1+12+14)=36(只).解法二(方程法):设这群羊共有x只.根据题意得方程x+x+12x+14x+1=100.

7、解此方程得x=36(只).答:略去.(责审周春荔)(上接第28页)即这个拼成的四边形的右端那个角也是直角(即原来中的CFI和原来中的ICB拼成).既然这个四边形的三个角都是直角,那么它的第四个角一定也是直角了.因此这个四边形是一个矩形.为证明这个矩形是正方形,我们还要证明它的一对邻边相等.具体地说,我们要在原来的图形(即图3)中证明CF=CH+IC.如果我们有RtCDHRtJAI,那么CH=JI,我们只要证明CF=CJ即可.为此,我们考察RtFGC和RtJBC.由于FC